最後に，微分形で書かれているマクスウェル方程式を積分形で理解するために必要な，ベクトル場の積分公式についてまとめておきます。
多重積分：多変数関数の積分
1変数関数 $f(x)$ の積分は
$$\int_a^b f(x) dx$$
と書くのであった。電磁気学では1変数関数だけでなく，一般に空間座標 $x, y, z$ および時間座標 $y$ の4つの変数に依存する関数（多変数関数，スカラー場・ベクトル場）の積分が出てくる。このような多変数関数の積分のことを多重積分という。
2重積分・面積分（面積積分）
2変数関数 $f(x, y)$ の領域 $D$ での積分
$$\iint_D f(x, y) \, dx dy$$
は，多重積分のうちで特に2重積分と呼ばれる。面積要素 $dx dy$ は何も $xy$ 平面上に限らないので一般に$ dx dy \ \rightarrow \ dS$ と書いて
$$\iint_D f(x, y) \, dS$$
を「面積分」という。（「面積分」とすべきか「面積積分」とすべきは悩むところ。Wikipedia でも微妙にぶれていると思われ，2重積分は「面積分」なのに3重積分は「体積積分」としている。）
具体的な計算は，たとえば領域 $D$ が
$$D: x_1 \leq x \leq x_2, \ y_1 \leq y \leq y_2$$
であれば
\begin{eqnarray}
\iint_D f(x, y) \, dS &=&\iint_D f(x, y) \, dx dy \\
&=& \int_{y_1}^{y_2} \left\{\int_{x_1}^{x_2} f(x, y) \,dx \right\} dy
\end{eqnarray}
のように1変数ずつ積分していく。また，積分変数とその積分範囲（下端・上端）を明確にするために，以下のような記法も使われる。
\begin{eqnarray}
\iint_D f(x, y) \, dS &=&\iint_D f(x, y) \, dx dy \\
&=& \int_{y_1}^{y_2} dy \int_{x_1}^{x_2} dx \, f(x, y)
\end{eqnarray}
極座標系の面積要素
領域 $D$ によっては，デカルト座標 $x, y$ よりも以下で定義される極座標 $\rho, \, \phi$ を使って積分したほうが便利な場合がある。（$r$ は3次元極座標の場合にとっておく。）
\begin{eqnarray}
x &=& \rho \cos\phi \\
y &=& \rho \sin\phi
\end{eqnarray}
この場合の面積要素 $dS$ は以下のようになることに注意。（「参考：極座標による2重積分とヤコビアン」のページを参照。）
$$dS = dx\, dy \Rightarrow \rho\, d\rho \,d\phi$$
3重積分・体積分（体積積分）
3変数関数 $f(x, y, z)$ の領域 $V$ での積分
$$\iiint_V f(x, y, z) \, dx dy dz$$
は，多重積分のうちで特に3重積分と呼ばれる。体積要素 $dx dy dz$ は一般に$ dx dy dz \ \rightarrow \ dV$ と書いて
$$\iiint_V f(x, y, z) \, dV$$
を「体積積分」という。
具体的な計算は，たとえば領域 $V$ が
$$V: x_1 \leq x \leq x_2, \ y_1 \leq y \leq y_2, \ z_1 \leq z \leq z_2$$
であれば
\begin{eqnarray}
\iiint_V f(x, y, z) \, dV &=&\iiint_V f(x, y, z) \, dx dy dz\\
&=& \int_{z_1}^{z_2} \left\{ \int_{y_1}^{y_2} \left\{\int_{x_1}^{x_2} f(x, y, z) \,dx \right\} dy\right\} dz
\end{eqnarray}
のように1変数ずつ積分していく。また，積分変数とその積分範囲（下端・上端）を明確にするために，以下のような記法も使われる。
\begin{eqnarray}
\iiint_V f(x, y, z) \, dS &=&\iiint_V f(x, y, z) \, dx dy dz\\
&=& \int_{z_1}^{z_2} dz \int_{y_1}^{y_2} dy \int_{x_1}^{x_2} dx \, f(x, y, z)
\end{eqnarray}
円筒座標系の体積要素
領域 $V$ によっては，デカルト座標 $x, y, z$ よりも以下で定義される円筒座標 $\rho, \, \phi, \,z$ を使って積分したほうが便利な場合がある。（$r$ は3次元極座標の場合にとっておく。）
\begin{eqnarray}
x &=& \rho \cos\phi \\
y &=& \rho \sin\phi \\
z &=& z
\end{eqnarray}
この場合の体積要素 $dV$ は以下のようになることに注意。（「参考：極座標による2重積分とヤコビアン」のページを参照。）
$$dV = dx\, dy\,dz \Rightarrow \rho\, d\rho \,d\phi\, dz$$
極座標系の体積要素
領域 $V$ によっては，デカルト座標 $x, y, z$ よりも以下で定義される極座標 $r, \,\theta\, \phi$ を使って積分したほうが便利な場合がある。
\begin{eqnarray}
x &=& r \sin\theta \cos\phi \\
y &=& r \sin\theta \sin\phi \\
z &=& r \cos\theta
\end{eqnarray}
この場合の体積要素 $dV$ は以下のようになることに注意。
$$dV = dx\, dy\,dz \Rightarrow r^2 dr\, \sin\theta\, d\theta\, d\phi$$
勾配の線積分
1変数関数 \( f(x) \) について，\( x \) から \(x + dx \) までの無限小変化分は（ \(dx \) の1次までとるとして）
$$df \equiv f(x + dx) – f(x) \simeq \frac{df}{dx} dx$$
したがって，\( x = x_1 \) から \( x = x_2 \) までの \( f(x) \) の変化分は以下のような積分で書ける。
$$ \int_{x_1}^{x_2} \frac{df}{dx} dx = f(x_2) – f(x_1)$$
多変数関数であるスカラー場 \( \varphi(x, y, z) \) の場合も同様に
\begin{eqnarray}
d\varphi &\equiv& \varphi(x+dx, y+dy, z + dz) – \varphi(x, y, z) \\
&=& \frac{\partial \varphi}{\partial x} dx + \frac{\partial \varphi}{\partial y} dy + \frac{\partial \varphi}{\partial z} dz \\
&\simeq& (\nabla \varphi)\cdot d\boldsymbol{r} \end{eqnarray}
ここで $$d\boldsymbol{r}
= dx \,\boldsymbol{i} + dy \,\boldsymbol{j} + dz \,\boldsymbol{k}$$
したがって，空間の点 \( \boldsymbol{r}_1 \) から点 \( \boldsymbol{r}_2 \) までの \( \varphi(\boldsymbol{r}) \) の変化分は以下のような線積分で書ける。
$$\int_{\boldsymbol{r}_1}^{\boldsymbol{r}_2} \nabla \varphi\cdot d\boldsymbol{r} = \int_{\boldsymbol{r}_1}^{\boldsymbol{r}_2} d\varphi = \varphi(\boldsymbol{r}_2) – \varphi(\boldsymbol{r}_1) $$
発散の体積積分と垂直成分の面積分：ガウスの定理
ベクトル場 \( \boldsymbol{a} \) が，何か（エネルギーとか熱量とか）の単位面積あたりの流れを表すもの（流束密度ベクトル，この場合の「密度」とは「面密度」のこと）と想像しよう。
微小面積 \( dS \) を垂直に貫いて流れる量（流束）は，\( dS \) に垂直な単位ベクトル \( \boldsymbol{n} \) を使って \( \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n}\, dS \) となる。したがって，面積 \( S \) を垂直に貫いて流れる量は
$$ \iint_S \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n} dS $$
ガウスの定理とは，ベクトル場の発散の体積についての積分に関する定理で以下のように書ける。
$$ \iiint_V \nabla\cdot \boldsymbol{a}\, dV = \iint_S \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n} dS $$ ここで，\( S \) は体積 \( V \) を囲む閉曲面である。
ガウスの定理を言葉で表すと，「ベクトル場の発散の体積積分は，その体積を囲む閉曲面上の垂直成分の面積分である」ということになる。
証明は別途。
ちなみに，「線積分」は「線積分」で問題ないが，ある量 \( f(x,y,z) \) の体積 \( V \) 内での積分
$$ \iiint_{V} f\, dxdydz, \quad \iiint_{V} f \,dV$$ などを「体積分」と呼ぶべきか「体積積分」と呼ぶべきか悩む。同様に，ある量 \( f(x,y,z) \) の面積 \( S \) 内での積分
$$ \iint_{S} f\,dx dy, \quad \iint_{S} f \,dS$$ などを「面積分」と呼ぶべきか「面積積分」と呼ぶべきかも少し悩む。
回転の面積分と閉曲線に沿った線積分：ストークスの定理
ベクトル場 \(\boldsymbol{a} \) の閉曲線 \(C \) に沿った成分をちょうど1周分線積分することを以下のように書く。
$$\oint_{C} \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{r} $$ この量を閉曲線（あるいはループ）\( C \) のまわりの循環と呼ぶ。
ストークスの定理とは，ベクトル場の回転の垂直成分の面積分に関する定理で以下のように書ける。
$$ \iint_{S} (\nabla\times \boldsymbol{a})\cdot \boldsymbol{n}\,dS = \oint_{C} \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{r} $$ ここで，\( S \) は閉曲線 \( C \) を縁とする任意の局面である。
ストークスの定理を言葉で表すと，「ベクトル場の回転の垂直成分の面積分は，その面積を囲む閉曲線に沿った成分の1周線積分である」ということになる。
やはり証明は別途。