いきなり \(\displaystyle \nabla^2 f – \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = 0\) を見せられて，これは速さ \(v\) で伝わる波を表している波動方程式だと言われても困るだろうから，少し解説。
1次元波動方程式
まず，簡単のために \(f\) が1次元，\(x\) 方向のみの空間依存性を持つとすると
$$\nabla^2 f = \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right) f \Rightarrow \frac{\partial^2}{\partial x^2} f$$
となる。この1次元波動方程式
$$ \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} -\frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 }{\partial t^2} \right) f = 0$$を例に，この波動方程式の一般解が任意の1変数関数 \(F(u), G(v)\) を使って
$$f(x, t) = F(x-vt) + G(x+vt)$$と書けることを示す。
変数変換
変数変換 \((x, t) \rightarrow (u, w)\) を以下のように定義する。
\begin{eqnarray}
u &\equiv& x – v t\\
w &\equiv& x + vt
\end{eqnarray}
この逆変換は
\begin{eqnarray}
x &=& \frac{1}{2}(u + w)\\
t &=& \frac{1}{2v}(w – u)
\end{eqnarray}
変数変換に関する偏微分の規則から
\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial u} &=& \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial t}{\partial u}\frac{\partial}{\partial t}\\
&=& \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x} – \frac{1}{2v} \frac{\partial}{\partial t}\\
\therefore\ 2 \frac{\partial}{\partial u} &=& \frac{\partial}{\partial x}- \frac{1}{v} \frac{\partial}{\partial t}
\end{eqnarray}
同様にして
$$ \ 2 \frac{\partial}{\partial w} = \frac{\partial}{\partial x}+\frac{1}{v} \frac{\partial}{\partial t}$$
これを使うと，
\begin{eqnarray}
\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} -\frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 }{\partial t^2} \right) f
&=& \left( \frac{\partial}{\partial x} -\frac{1}{v} \frac{\partial }{\partial t} \right)\left( \frac{\partial}{\partial x} +\frac{1}{v} \frac{\partial }{\partial t} \right) f \\
&=& 4 \frac{\partial}{\partial u}\frac{\partial}{\partial w} f = 0
\end{eqnarray}
$$\therefore\ \ \frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{\partial}{\partial w} f\right) = 0$$
これより，\(\displaystyle \frac{\partial}{\partial w} f\) は \(u\) には依存せず， \(w\) のみに依存することがわかり，
$$\frac{\partial}{\partial w} f = G'(w)$$とおける。これを \(w\) で積分して
$$f = G(w) + F(u)$$
ここで \(F(u)\) は \(w\) に依存しない積分「定数」である。ということで
$$f = F(u) + G(w) = F(x – vt) + G(x + vt)$$
波動のグラフ例
1次元波動方程式の解のうち，\(F(x – vt)\) は \(+x\) 方向に進む波，\(G(x + vt)\) は \(-x\) 方向に進む波を表す。
例として \(\sin(x – vt)\) を \(v = 1\) として Maxima でグラフにした例が以下である。
plot2d([sin(x), sin(x - 0.5), sin(x - 1.0), sin(x - 1.5)],
[x, -10, 10], [y, -1.1, 1.1],
[style, [lines, 0.5, "#cccccc"],
[lines, 0.5, "#888888"],
[lines, 1, "#555555"],
[lines, 2, "#000000"]],
[xlabel, "x"], [ylabel, ""], [title, "sin(x - vt)"],
[gnuplot_preamble, "set key outside; set key samplen 1"],
[legend, "t = 0.0", "t = 0.5", "t = 1.0", "t = 1.5"]
)$
参考：
$x$ 方向に伝播する平面電磁波の例
3次元波動方程式の解
$$\nabla^2 f – \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = 0$$
の解は以下のように書くことができる。
$$f = F(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r} – \omega t) + G(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}+ \omega t)$$
ここで，\(\boldsymbol{k}\) は波の進行方向を表す（角）波数ベクトル，\( \omega\) は（角）振動数である。これを波動方程式にいれてやると，
$$\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{k} – \frac{\omega^2}{v^2} = 0, \quad\therefore\ \ v = \frac{\omega}{|\boldsymbol{k}|}$$
特に，電場 \(\boldsymbol{E}\) の解は，
$$\boldsymbol{E} = \boldsymbol{E}_1 f_1(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r} – \omega t) + \boldsymbol{E}_2 f_2(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r} + \omega t)$$
の形に書け，\(\nabla\cdot\boldsymbol{E} = 0\) から
$$\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{E}_1 = 0, \quad \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{E}_2 = 0$$
が得られる。これは振幅（変位の方向）を表す \(\boldsymbol{E}_1, \ \boldsymbol{E}_2\) が進行方向を表す波数ベクトル \(\boldsymbol{k}\) と直交していること，つまり横波であることを表している。
補足：\(\nabla\cdot\boldsymbol{E} = 0\) の計算
簡単のために，1つの進行方向のみ
$$\boldsymbol{E} = \boldsymbol{E}_1 f_1(u), \ \ u \equiv \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r} – \omega t$$
を考える。（振幅（変位の方向）を表す \(\boldsymbol{E}_1\) は一定。）
\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial x} E_x &=& \left(\boldsymbol{E}_1\right)_x \frac{d f_1}{du}
\frac{d}{dx} \left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r} – \omega t \right) \\
&=& k_x \left(\boldsymbol{E}_1\right)_x \frac{d f_1}{du}\\
\therefore\ \ \nabla\cdot \boldsymbol{E} &=&
\frac{\partial}{\partial x} E_x + \frac{\partial}{\partial y} E_y + \frac{\partial}{\partial z} E_z\\
&=& \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{E}_1\frac{d f_1}{du}
\end{eqnarray}
$$\therefore\ \ \nabla\cdot\boldsymbol{E} = 0 \Rightarrow \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{E}_1 = 0$$