多項式の平方根などの無理関数を含む場合の積分。必ず積分できるというわけではないが，置換積分などによって積分できるいくつかの例をあげておく。（無理関数の積分は無理です！なんて言わずに… ）
例 1 \(\displaystyle \int \frac{dx}{x \sqrt{x+1}} \)
\( \sqrt{x+1} = t\) とおくと，
\begin{eqnarray}
x + 1 &=& t^2 \\
x &=& t^2 -1 \\
dx &=& 2t dt
\end{eqnarray}
したがって，
\begin{eqnarray}
\int \frac{dx}{x \sqrt{x+1}} &=& \int \frac{2 t dt}{(t^2 -1) t} \\
&=& \int \frac{2}{t^2-1} dt\\
&=& \int \left( \frac{1}{t-1} -\frac{1}{t+1}\right) dt\\
&=& \log |t-1| -\log |t + 1| + C \\
&=& \log \left| \frac{\sqrt{x+1} -1}{\sqrt{x+1} + 1}\right| + C
\end{eqnarray}
例 2 \(\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}} \)
\( \sqrt{x^2 + 1} = t\) ではなく，\( \sqrt{x^2 + 1} = t {\color{red} { -x}}\) とおくとよいことが知られている。
\begin{eqnarray}
\sqrt{x^2+1} &=& t -x \\
x^2 + 1 &=& t^2 -2 t x + x^2 \\
\therefore\ \ x &=& \frac{t^2-1}{2t} \\
dx &=& \frac{t^2 + 1}{2t^2} dt \\
\sqrt{x^2+1} &=& t -x \\
&=& t -\frac{t^2 -1}{2t} \\
&=& \frac{t^2 + 1}{2t}
\end{eqnarray}
したがって
\begin{eqnarray}
\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}} &=& \int \frac{2t}{t^2 + 1} \frac{t^2 + 1}{2t^2} dt\\
&=& \int \frac{1}{t} dt \\
&=& \log |t| + C \\
&=& \log \left|x + \sqrt{x^2 + 1}\right| + C \\
&=& \log \left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) + C
\end{eqnarray}
別解：
逆双曲線関数の微分を思い出すと
$$ \frac{d}{dx} \sinh^{-1} x = \frac{d}{dx} \log\left(x + \sqrt{x^2+1}\right) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$$
だったから，ただちに
$$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}} = \sinh^{-1} x + C = \log\left(x + \sqrt{x^2+1}\right) + C$$
例 3 \(\displaystyle \int \sqrt{x^2+1} dx\)
この場合も \( \sqrt{x^2 + 1} = t -x\) とおくとよいことが知られている。
\begin{eqnarray}
\int \sqrt{x^2+1} dx &=& \int \frac{t^2+1}{2t} \frac{t^2 + 1}{2t^2} dt\\
&=& \frac{1}{4} \int \frac{t^4 + 2 t^2 + 1}{t^3} dt \\
&=& \frac{1}{4} \int \left(t + \frac{2}{t} + \frac{1}{t^3} \right)dt\\
&=& \frac{1}{4} \left( \frac{t^2}{2} + 2 \log |t| -\frac{1}{2 t^2} \right) + C \\
&=& \frac{1}{2} \log |t| + \frac{1}{2} \frac{t^2 + 1}{2t} \frac{t^2 -1}{2t} + C\\
&=& \frac{1}{2} \log \left(x + \sqrt{x^2+1}\right)+ \frac{1}{2} x \sqrt{x^2+1}+ C \\
&=& \frac{1}{2} \sinh^{-1} x + \frac{1}{2} x \sqrt{x^2+1}+ C
\end{eqnarray}
別解：
部分積分をして，例 2 の結果を使う。
\begin{eqnarray}
\int \sqrt{x^2+1} dx &=& x \sqrt{x^2 + 1} -\int x \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx \\
&=& x \sqrt{x^2 + 1} -\int \frac{x^2 + 1}{\sqrt{x^2+1}} dx + \int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx\\
&=& \int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx + x \sqrt{x^2 + 1} -\int \sqrt{x^2 + 1} dx \\ \ \\
\therefore\ \ \int \sqrt{x^2+1} dx &=& \frac{1}{2} \left\{ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx + x \sqrt{x^2 + 1}\right\} \\
&=& \frac{1}{2} \log \left(x + \sqrt{x^2+1}\right) + \frac{1}{2} x \sqrt{x^2+1}+ C \\
&=& \frac{1}{2} \sinh^{-1} x + \frac{1}{2} x \sqrt{x^2+1}+ C
\end{eqnarray}
例 4 \(\displaystyle \int \sqrt{1 -x^2} \,dx\)
置換積分で解く例
$x = \sin t, \ dx = \cos t\, dt$ として
\begin{eqnarray}
\int \sqrt{1 -x^2}\, dx &=& \int \sqrt{1 -\sin^2 t} \, \cos t\, dt \\
&=& \int \cos^2 t\, dt \\
&=& \frac{1}{2} \int (\cos 2 t +1)\, dt \\
&=& \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} \sin 2 t + t\right) \\
&=& \frac{1}{2} \left(\sin t \cos t + t\right) \\
&=& \frac{1}{2} \left(x \sqrt{1 -x^2} + \sin^{-1} x \right)
\end{eqnarray}
部分積分で解く例
\begin{eqnarray}
I &\equiv& \int \sqrt{1-x^2}\, dx \\
&=& x \sqrt{1 -x^2} -\int x\, \left(\frac{d}{dx} \sqrt{1 -x^2}\right) \,dx\\
&=& x \sqrt{1-x^2} + \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx \\
&=& x \sqrt{1-x^2} + \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx -\int \frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}\, dx \\
&=& x \sqrt{1-x^2} + \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx -I \\
\therefore\ \ I &=& \frac{1}{2} \left(x \sqrt{1-x^2} + \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx \right) \\
&=& \frac{1}{2}\left(x\sqrt{1-x^2} +\sin^{-1} x\right)
\end{eqnarray}
練習問題 1. \(\displaystyle \int \frac{dx}{x \sqrt{x-1}} \)
$\sqrt{x-1} = t$ とおくと…
この積分は相対論的宇宙論のほうで必要になったりするんですよ。
練習問題 2. \(\displaystyle \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} dx \)
練習問題 3. \(\displaystyle \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x^3}} dx \)
こんな積分，社会に出たら絶対使わないし，役になんかたたないなどと思っていませんか？これらの積分も宇宙年齢を知るために必要になったりするんですよ。
練習問題 4. \(\displaystyle \int \frac{1}{\left(a^2 +x^2\right)^{\frac{3}{2}}} dx \)
こんな積分，いったいいつどこで使うんだと思っていませんか？この積分は1年生後期の電磁気学Iで一様な線電荷による電場を求める際に使うんですよ！