\(\displaystyle \int_a^b f(x) \,dx\) において，被積分関数 \(f(x)\) が \([a, b]\) で有界でなかったり連続でなかったりする場合や，\(a \rightarrow -\infty\) あるいは \(b \rightarrow \infty\) のような無限積分の場合。
\(\displaystyle \int_a^b f(x) \,dx\) において，被積分関数 \(f(x)\) が例えば \(x = a\) で有界ではなかったり，連続ではなかったりする場合。
たとえば， \(\displaystyle f(x) = x^{-p} = \frac{1}{x^p}, \ 0 < p < 1\) の場合。\(x = 0\) で \(f(x)\) の分母がゼロになるので，困ってしまいそうになるが，\(1 -p > 0\) であるから，\(0^{1-p}= 0\) なので
\begin{eqnarray}
\int_0^2 f(x) dx &=& \int_0^2 x^{-p}\,dx \\
&=& \frac{1}{1-p} \left[ f^{1-p} \right]_0^2 \\
&=& \frac{2^{1-p} -0^{1-p}}{1-p} \\
&=& \frac{2^{1-p} }{1-p}
\end{eqnarray}
となり，普通に定積分できる。被積分関数 \(f(x)\) が \(x = 0\) で有界（有限の値を持つこと）でなくても，原始関数 \(\displaystyle F(x) = \int^x f(u)\, du\) が \(x = 0\) で有界であれば，特に問題なく定積分できるということです。
また，積分区間が無限となる積分（無限積分）については，
$$ \int_a^{\infty} f(x) \,dx = \left[F(x)\right]_a^{\infty} = F(\infty) -F(a)$$
などと，直接 \(\infty\) を入れて \(F(\infty)\) とすることはできない（\(\infty\) は数値ではない）ので，以下のように極限を使う。
$$ \int_a^{\infty} f(x) \,dx = \lim_{b \rightarrow \infty} \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{b \rightarrow \infty} F(b) -F(a)$$
$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \,dx = \lim_{a \rightarrow -\infty} \lim_{b \rightarrow \infty} \int_a^b f(x)\,dx=\lim_{b \rightarrow \infty} F(b) -\lim_{a \rightarrow -\infty}F(a)$$
簡単な例：
\begin{eqnarray}
\int_0^{\infty} e^{-x} \,dx &=&\lim_{b \rightarrow \infty} \int_0^{b} e^{-x} \,dx\\
&=& \lim_{b \rightarrow \infty} (-e^{-b}) -(-e^0)\\
&=& 0 -(-1) = 1
\end{eqnarray}
一見，無限区間の積分だが，\(\tan\theta\) を含む変数変換による置換積分にすれば，\(\displaystyle -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}\) の有限区間での定積分に帰着する場合もある。以下の練習問題を参照。
練習問題 1. $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(a^2 + x^2)^{\frac{3}{2}}} dx$
こんな積分，いったいどこで使うんだと思うでしょうが，1年生後期の電磁気学Iで，一様な線電荷による電場を求める際に使うんですよ！ 詳細は…
練習問題 2. $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{a^2 + x^2} dx$
こんな積分，いったいどこで使うんだと思うでしょうが，1年生後期の電磁気学Iで，一様な面電荷による電場を求める際に使うんですよ！ 詳細は…