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部分積分

部分積分のキモ

被積分関数が2つの関数の積で表されているとき，どちらか片方が簡単に積分できて（そちらを \(f'(x)\) として），どちらか片方の微分が簡単にできる場合なら（そちらを \(g(x)\) として）
$$\int f'(x) g(x) \,dx = f(x) g(x)  -\int f(x) g'(x)\, dx$$

定積分の場合は，
$$\int_a^b f'(x) g(x) \,dx = \Bigl[ f(x) g(x) \Bigr]_a^b  -\int_a^b f(x) g'(x)\, dx$$

証明は，
$$\left( f(x) g(x) \right)’ = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)$$ の両辺を積分すれば
$$\int \left( f(x) g(x) \right)’ \,dx  = f(x) g(x)= \int f'(x) g(x)\,dx + \int f(x) g'(x) \,dx$$
$$\therefore\ \   \int f'(x) g(x)\,dx =  f(x) g(x) -\int f(x) g'(x) \,dx$$

例：\(\displaystyle \quad \int \log x\, dx\)

\begin{eqnarray}
\int \log x\, dx &=& \int 1\cdot \log x\, dx \\
&=& \int (x)’\cdot \log x\, dx \\
&=& x \log x -\int x \cdot(\log x)’\, dx\\
&=& x \log x -\int x \cdot\frac{1}{x}\, dx\\
&=& x \log x -\int \,dx \\
&=& x\log x -x
\end{eqnarray}

参考：逆三角関数・逆双曲線関数の積分

質問：
逆三角関数や逆双曲線関数の微分はやったけど，逆三角関数や逆双曲線関数の積分はどうなるの？

回答：
部分積分してください。基本的に逆三角関数や逆双曲線関数の微分がわかれば，積分もできます。以下に Maxima-Jupyter で不定積分の答えだけ書いておきます。がんばれ！

逆三角関数の積分

In [1]:
'integrate(asin(x), x) = integrate(asin(x), x);
'integrate(acos(x), x) = integrate(acos(x), x);
'integrate(atan(x), x) = integrate(atan(x), x);
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{1}$}\int {\arcsin x}{\;dx}=x\,\arcsin x+\sqrt{1-x^2}\]
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{2}$}\int {\arccos x}{\;dx}=x\,\arccos x-\sqrt{1-x^2}\]
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{3}$}\int {\arctan x}{\;dx}=x\,\arctan x-\frac{\log \left(x^2+1\right)}{2}\]

逆双曲線関数の積分

In [2]:
'integrate(asinh(x), x) = integrate(asinh(x), x);
'integrate(acosh(x), x) = integrate(acosh(x), x);
'integrate(atanh(x), x) = integrate(atanh(x), x);
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{4}$}\int {{\rm asinh}\; x}{\;dx}=x\,{\rm asinh}\; x-\sqrt{x^2+1}\]
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{5}$}\int {{\rm acosh}\; x}{\;dx}=x\,{\rm acosh}\; x-\sqrt{x^2-1}\]
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{6}$}\int {{\rm atanh}\; x}{\;dx}=\frac{\log \left(1-x^2\right)}{2}+x\,{\rm atanh}\; x\]