ハッブルパラメータ $H_0$ や密度パラメータ $\Omega_{\rm m}$ の導入と，フリードマン方程式から求める宇宙年齢 \(t_0\)（スケール因子が \(a=0\) から \(a_0 = a(t_0)\) になるまでの時間）。
膨張宇宙をあらわす FLRW 計量は，時間のみの関数であるスケール因子 \(a(t)\) と空間座標のみの関数である定曲率空間の計量 \(\gamma_{ij}\) を使って以下のように書けるのであった。（\(c = 1\) とする。）
$$ds^2 =-dt^2 + g_{ij}dx^i dx^j = -dt^2 + a^2(t) \gamma_{ij} dx^i dx^j$$
宇宙空間を満たす物質が物質密度 \(\rho\) （圧力がゼロ）のダストの場合，宇宙定数 \(\Lambda\) も入れたアインシュタイン方程式は，
$$\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 + \frac{k}{a^2} = \frac{8\pi G}{3} \rho + \frac{\Lambda}{3}$$
$$\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3} \rho + \frac{\Lambda}{3} $$また，
$$\dot{\rho} + 3\frac{\dot{a}}{a} \rho = 0, \ \ \therefore\ \ \rho \propto \frac{1}{a^3}$$
ここで $k$ は（ニュートン宇宙論においては，運動方程式の積分の際にあらわれる積分定数という意味しかなかったかも知れないが）一般相対論的宇宙論においては，一様等方な3次元空間の曲率定数という意味を持つ。$k > 0$ の場合は閉じた空間，$k<0$ の場合は開いた空間，ちょうど $k = 0$ の場合は平坦な空間という。
ハッブルパラメータ
近接した2点間の空間的距離を
$$\ell \equiv \sqrt{g_{ij} dx^i dx^j} = a(t) \sqrt{\gamma_{ij} dx^i dx^j}$$とすると，その時間変化は
$$\dot{\ell} = \frac{\dot{a}}{a} \ell$$である。
ハッブル・ルメートルの法則 \(v = H_0 r\) との比較から
$$H_0 = \frac{\dot{a}}{a}\Bigg|_{t=t_0}$$
宇宙の膨張率をあらわす \(\displaystyle \frac{\dot{a}}{a}\) の現在 \(t = t_0\) での値がハッブルパラメータ \(H_0\) である。
（ハッブル「定数」とも呼ばれるだろうが，時間に依存しない「定数」というよりは，時間に依存する関数の現在時刻での値ということだからハッブル「パラメータ」と呼ぶことにする。）
密度パラメータ
フリードマン方程式
$$\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 + \frac{k}{a^2} = \frac{8\pi G}{3} \rho + \frac{\Lambda}{3}$$
を現在の時刻 \(t =t_0\) で評価すると
$$H_0^2 + \frac{k}{a_0^2} = \frac{8\pi G}{3} \rho_0 + \frac{\Lambda}{3}$$
である。ここで，$a_0 \equiv a(t_0), \ \rho_0 \equiv \rho(t_0)$
現在の宇宙膨張がダストの物質密度のみによってドライブされているならば（\(k = 0, \ \Lambda = 0\) ということ），そのときの物質密度を臨界密度 \(\rho_{\rm cr}\) というが，以下のようになる。
$$H_0^2 = \frac{8\pi G}{3} \rho_{\rm cr}, \quad\therefore\ \ \rho_{\rm cr}\equiv \frac{3 H_0^2}{8\pi G}$$
現在の物質密度 \(\rho_0\) と臨界密度の比をとり，
$$\Omega_{\rm m} \equiv \frac{\rho_0}{\rho_{\rm cr}} = \frac{8\pi G \rho_0}{3 H_0^2}$$
この \(\Omega_{\rm m}\) を（ダスト）物質の密度パラメータという。
また，宇宙定数を完全流体とみなしたときのエネルギー密度 \(\rho_{\Lambda}\) についても同様に
$$\Omega_{\Lambda} \equiv \frac{\rho_{\Lambda}}{\rho_{\rm cr}} = \frac{\Lambda}{3 H_0^2}$$
これらのパラメータをあらためて \(t = t_0\) でのフリードマン方程式に代入すると
$$H_0^2 + \frac{k}{a_0^2} = H_0^2 \left(\Omega_{\rm m} + \Omega_{\Lambda}\right)$$
$$\therefore\ \frac{k}{a_0^2} =H_0^2 \left(\Omega_{\rm m} + \Omega_{\Lambda} -1 \right)$$
\(H_0, \Omega_{\rm m}, \Omega_{\Lambda}\) をまとめて宇宙論パラメータと呼ぶことにする。
減速パラメータ
ちなみに，ハッブルパラメータが
$$H_0 = \frac{\dot{a}}{a}\Bigg|_{t=t_0}$$のように，1階微分（膨張速度）をスケール因子で割った量として表すことに対応して，2階微分（膨張の加速度・減速度）を表すパラメータとして
$$q_0 \equiv – \frac{1}{H_0^2} \frac{\ddot{a}}{a}\Bigg|_{t=t_0}$$として定義した $q_0$ を減速パラメータと呼び，20世記の教科書ではよく使われていたが，最近のテキストではあまり見なくなったかも知れない。
$$\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3} \rho + \frac{\Lambda}{3} $$
の式を $t = t_0$ で評価してやると以下の関係があることがわかる。
$$q_0 = – \frac{1}{2} \Omega_{\rm m} + \Omega_{\Lambda}$$
ということで，本稿では $\Omega_{\rm m} $ と $ \Omega_{\Lambda}$ を使うことにして，$q_0$ は使わない方向。
宇宙論パラメータで書いたフリードマン方程式
したがって，任意時刻 \(t\) でのフリードマン方程式は
\begin{eqnarray}
\left(\frac{\dot{a}}{a} \right)^2 &=& \frac{8\pi G}{3} \rho + \frac{\Lambda}{3} – \frac{k}{a^2} \\
&=& H_0^2 \left\{\frac{8\pi G \rho_0}{3 H_0^2}\left(\frac{a_0}{a}\right)^3
+ \frac{\Lambda}{3 H_0^2} \right\} – \frac{k}{a_0^2}\left(\frac{a_0}{a}\right)^2\\
&=& H_0^2 \left\{\Omega_{\rm m} \left(\frac{a_0}{a}\right)^3 + \Omega_{\Lambda}
+ \left(1 – \Omega_{\rm m} – \Omega_{\Lambda}\right)\left(\frac{a_0}{a}\right)^2\right\}
\end{eqnarray}
宇宙年齢
ハッブル・ルメートルの法則から \(\dot{a} > 0\) である。また物質密度がゼロでないなら \(\rho > 0\) なので，\(\ddot{a} < 0\) となり，スケール因子 \(a(t)\) のグラフは上に凸となる。このことは，有限の過去，\(a=0\) となることを意味する。つまり宇宙には始まりがあったということになる。
フリードマン方程式から宇宙年齢 \(t_0\)（スケール因子が \(a = 0\) から \(a = a_0 = a(t_0)\) になるまでの時間） を求める。常識のフリードマン方程式の両辺に \(\displaystyle \left(\frac{a}{a_0}\right)^2\) をかけて平方根をとると
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{a}{a_0}\right) =
H_0 \sqrt{\Omega_{\rm m} \left(\frac{a_0}{a}\right)
+\left(1 – \Omega_{\rm m} – \Omega_{\Lambda}\right)
+ \Omega_{\Lambda} \left(\frac{a}{a_0}\right) ^2}$$
$\displaystyle x \equiv \frac{a}{a_0}$ という変数を使えば，上の式は
\begin{eqnarray}\frac{dx}{dt}&=&
H_0 \sqrt{\Omega_{\rm m} \left(\frac{1}{x}\right)
+\left(1 – \Omega_{\rm m} – \Omega_{\Lambda}\right)
+ \Omega_{\Lambda} x^2}\\
&=& H_0 \frac{\sqrt{\Omega_{\rm m} + (1 – \Omega_{\rm m} -\Omega_{\Lambda}) x+ \Omega_{\Lambda} x^3}}{\sqrt{x}}
\end{eqnarray}
変数分離形の微分方程式を解くことになって，
\begin{eqnarray}H_0 dt
&=& \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\Omega_{\rm m} + (1 – \Omega_{\rm m} -\Omega_{\Lambda}) x+ \Omega_{\Lambda} x^3}} dx
\end{eqnarray}
ここで
\begin{eqnarray}
f(x, \Omega_{\rm m}, \Omega_{\Lambda}) &\equiv& \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\Omega_{\rm m} + (1 – \Omega_{\rm m} -\Omega_{\Lambda}) x+ \Omega_{\Lambda} x^3}}
\end{eqnarray}
とおけば，
\begin{eqnarray}
H_0 t_0 &=& \int_0^1 f(x, \Omega_{\rm m}, \Omega_{\Lambda}) dx
\end{eqnarray}
$\Omega_{\Lambda} = 0$ の場合
\(\Omega_{\rm m} > 1\) を想定して
\begin{eqnarray}
H_0 t_0 &=& \int_0^1 f(x, \Omega_{\rm m}, 0) dx\\
&=& \int_0^1\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\Omega_{\rm m} – (\Omega_{\rm m}-1 ) x}} dx \\
&=& \frac{1}{\sqrt{\Omega_{\rm m}-1}}
\int_0^1\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\frac{\Omega_{\rm m}}{\Omega_{\rm m}-1} – x}} dx
\end{eqnarray}
以下のような変数変換をすると…
\begin{eqnarray}
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\frac{\Omega_{\rm m}}{\Omega_{\rm m}-1} – x}} &\equiv& t \\
\therefore \ \ x &=& \frac{\Omega_{\rm m}}{\Omega_{\rm m}-1} \frac{t^2}{1+t^2} \\
dx &=& \frac{\Omega_{\rm m}}{\Omega_{\rm m}-1} \frac{2t}{(1+t^2)^2} dt
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\therefore\ \ H_0 t_0 &=& \frac{1}{\sqrt{\Omega_{\rm m}-1}}
\int_0^1\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\frac{\Omega_{\rm m}}{\Omega_{\rm m}-1} – x}} dx \\
&=& \frac{\Omega_{\rm m}}{(\Omega_{\rm m}-1)^{\frac{3}{2}}}
\int_0^{\sqrt{\Omega_{\rm m}-1}} \frac{2t^2}{(1+t^2)^2} dt \\
&=& \frac{\Omega_{\rm m}}{(\Omega_{\rm m}-1)^{\frac{3}{2}}}
\Bigl[\tan^{-1} t – \frac{t}{1 + t^2} \Bigr]_0^{\sqrt{\Omega_{\rm m}-1}}
\end{eqnarray}
最後の積分は，ここで示しておきました。
あらためて積分を実行した結果を書くと
$$H_0 t_0 = -\frac{1}{\Omega_{\rm m} -1}+\frac{\Omega_{\rm m}}{(\Omega_{\rm m}-1)^{\frac{3}{2}} }
\tan^{-1}\sqrt{\Omega_{\rm m}-1} \quad \mbox{for}\ \ \Omega_{\rm m} > 1$$
$$H_0 t_0 = \frac{1}{1-\Omega_{\rm m}}-\frac{\Omega_{\rm m}}{(1-\Omega_{\rm m})^{\frac{3}{2}} }
\tanh^{-1}\sqrt{1-\Omega_{\rm m}} \quad \mbox{for}\ \ \Omega_{\rm m} < 1$$
ここで，$\Omega_{\rm m} < 1$ の場合には $\tan^{-1} (i x) = i \tanh^{-1} x$ の関係を使って $\Omega_{\rm m} > 1$ の結果から導いた。オイラーの公式から得られるこれらの関係については，別途授業で習ったよねぇ。（逆三角関数と逆双曲線関数の関係）
特に，$\Omega_{\rm m} = 1$ すなわち $k = 0$ のときには上式で \(\Omega_{\rm m} \rightarrow 1\) の極限をとればよくて，結果は
$$H_0 t_0 = \frac{2}{3} \quad\mbox{for}\ \ \Omega_{\rm m} = 1$$
以下の計算からわかるように，
$$\displaystyle \frac{\partial}{\partial \Omega_{\rm m}}f(x, \Omega_{\rm m}, \Omega_{\Lambda}) < 0 \quad\quad \mbox{for} \ 0 < x < 1$$
被積分関数 \(f(x, \Omega_{\rm m}, \Omega_{\Lambda})\)，したがって積分としての宇宙年齢 \(t_0\) は \(\Omega_{\rm m}\) の単調減少関数 であるから
$$H_0 t_0 \left \{ \begin{array}{cl}
< \frac{2}{3} & \mbox{for}\ \Omega_{\rm m} > 1 \\
= \frac{2}{3} & \mbox{for}\ \Omega_{\rm m} = 1 \\
> \frac{2}{3} & \mbox{for}\ \Omega_{\rm m} < 1\end{array} \right.$$である。最大値となるのは $\Omega_{\rm m} \rightarrow 0$ のときで
$$H_0 t_0 = \int_0^1 f(x, 0, 0) dx = \int_0^1\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{ x}} dx = 1$$
\(\Omega_{\rm m} + \Omega_{\Lambda} = 1\) すなわち \(k = 0\) の場合
\begin{eqnarray}
H_0 t_0 &=& \int_0^1 f(x, \Omega_{\rm m}, 1-\Omega_{\rm m}) dx\\
&=& \int_0^1\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\Omega_{\rm m} – (\Omega_{\rm m} -1) x^3}} dx \\
&=& \frac{1}{\sqrt{\Omega_{\rm m} -1}}
\int_0^1\frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{\frac{\Omega_{\rm m}}{ \Omega_{\rm m} -1} – x^3}} \frac{dx}{x}
\end{eqnarray}
以下のような変数変換をすると…
\begin{eqnarray}
\frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{\frac{\Omega_{\rm m}}{ \Omega_{\rm m} -1} – x^3}} &\equiv& t \\
\therefore\ \ x^3 &=& \frac{\Omega_{\rm m}}{\Omega_{\rm m}-1} \frac{t^2}{1+t^2} \\
3 x^3 \frac{dx}{x} &=& \frac{\Omega_{\rm m}}{\Omega_{\rm m}-1} \frac{2 t^2}{(1+t^2)^2}\frac{dt}{t} \\
&=& 2 x^3 \frac{dt}{t (1 + t^2)} \\
\therefore\ \ \frac{dx}{x} &=& \frac{2}{3} \frac{dt}{t (1 + t^2)}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\therefore\ \ H_0 t_0
&=& \frac{1}{\sqrt{\Omega_{\rm m} -1}}
\int_0^1\frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{\frac{\Omega_{\rm m}}{ \Omega_{\rm m} -1} – x^3}} \frac{dx}{x} \\
&=& \frac{1}{\sqrt{\Omega_{\rm m} -1}}\int_0^{\sqrt{ \Omega_{\rm m} -1}} t \cdot \frac{2}{3} \frac{dt}{t (1 + t^2)}\\
&=& \frac{2}{3\sqrt{\Omega_{\rm m} -1}} \Bigl[\tan^{-1} t \Bigr]_0^{\sqrt{ \Omega_{\rm m} -1}}
\end{eqnarray}
あらためて積分を実行した結果を書くと
$$H_0 t_0 = \frac{2}{3(\sqrt{\Omega_{\rm m} -1})}\tan^{-1} \sqrt{\Omega_{\rm m} -1} \quad \mbox{for}\ \ \Omega_{\rm m} > 1$$
$$H_0 t_0 = \frac{2}{3(\sqrt{1-\Omega_{\rm m} })}\tanh^{-1} \sqrt{1-\Omega_{\rm m} } \quad \mbox{for}\ \ \Omega_{\rm m} < 1$$
ここで，$\Omega_{\rm m} < 1$ の場合には $\tan^{-1} (i x) = i \tanh^{-1} x$ の関係を使って $\Omega_{\rm m} > 1$ の結果から導いた。オイラーの公式から得られるこれらの関係については，別途授業で習ったよねぇ。（逆三角関数と逆双曲線関数の関係）
特に，$\Omega_{\rm m} = 1$ すなわち $\Omega_{\Lambda} = 0$ のときには
$$H_0 t_0 = \frac{2}{3} \quad \mbox{for}\ \ \Omega_{\rm m} = 1$$
以下の計算からわかるように，
$$\displaystyle \frac{\partial}{\partial \Omega_{\Lambda}}f(x, \Omega_{\rm m}, \Omega_{\Lambda}) > 0 \quad\quad \mbox{for} \ 0 < x < 1$$
被積分関数 \(f(x, \Omega_{\rm m}, \Omega_{\Lambda})\)，したがって積分としての宇宙年齢 \(t_0\) は \(\Omega_{\Lambda}\) の単調増加関数である。
なお，Maxima ではなかなかきれいにしてくれなかったので，以下の公式を使って人力で整えた。
$$\tan^{-1} (x) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2}$$
いったん，\(\Omega_{\rm m}>1\) の場合が解ければ，\(\Omega_{\rm m}<1\) の場合も
$$\tan^{-1} (i x) = i \tanh^{-1} x$$などの公式を使えばすぐに求まるだろう。
結局，Maxima だけじゃあダメで人力で整える必要があるということでした。
宇宙年齢の密度パラメータ依存性のグラフ
Maxima-Jupyter での計算例
宇宙年齢 $t_0$
$$ H_0 t_0 = \int_0^1 \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\Omega_{\rm m} + (1 – \Omega_{\rm m} – \Omega_{\Lambda}) x + \Omega_{\Lambda} x^3}} dx$$
Maxima の表記の都合上，
$\Omega_{\rm m} \rightarrow \Omega, \quad \Omega_{\Lambda} \rightarrow \Omega_1$ とする。
f(x, Omega, Omega1):= sqrt(x)/sqrt(Omega + (1 - Omega-Omega1)*x+Omega1*x**3);
$\Omega_{\Lambda} = 0$ の場合
$\Omega_{\Lambda} = 0, \ \Omega_{\rm m} > 1$ の場合は Maxima は積分できる。
/* 念のため，assume() 等での設定を全て忘れさせる。*/
forget(facts())$
assume(Omega > 1)$
'integrate(f(x, Omega, 0), x, 0, 1) =
ans: integrate(f(x, Omega, 0), x, 0, 1);
factor(ans);
$\Omega_{\Lambda} = 0, \ 0 < \Omega_{\rm m} < 1$ の場合は，意味不明…
/* 念のため，assume() 等での設定を全て忘れさせる。*/
forget(facts())$
assume(Omega > 0)$
assume(Omega < 1)$
'integrate(f(x, Omega, 0), x, 0, 1) =
integrate(f(x, Omega, 0), x, 0, 1);
$\Omega_{\Lambda} = 0, \ \Omega_{\rm m} = 1$ の場合は…
integrate(f(x, 1, 0), x, 0, 1);
一見，分母がゼロになって怖そうだけど，ちゃんと$\Omega_{\rm m} > 1$ の解の極限をとっても正しい答えになる。
limit(ans, Omega, 1);
$\Omega_{\rm m} + \Omega_{\Lambda} = 1$ すなわち $k = 0$ の場合
$\Omega_{\rm m} > 1$ の場合は Maxima は積分できる。
/* 念のため，assume() 等での設定を全て忘れさせる。*/
forget(facts())$
assume(Omega > 1)$
'integrate(f(x, Omega, 1-Omega), x, 0, 1) =
ans: integrate(f(x, Omega, 1-Omega), x, 0, 1);
factor(ans);
$0 < \Omega_{\rm m} < 1$ の場合は，意味不明…
/* 念のため，assume() 等での設定を全て忘れさせる。*/
forget(facts())$
assume(Omega > 0)$
assume(Omega < 1)$
'integrate(f(x, Omega, 1-Omega), x, 0, 1) =
integrate(f(x, Omega, 1-Omega), x, 0, 1);
宇宙年齢の密度パラメータ依存性
被積分関数 $f(x, \Omega, \Omega_1)$ は $\Omega$ の単調減少関数であることは，以下からわかる。
diff(f(x, Omega, Omega1), Omega);
$0 < x < 1$ では $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \Omega} < 0$
従って，$H_0$ や $\Omega_{\Lambda}$ が同じなら $\Omega_{\rm m}$ が小さい方が宇宙年齢が伸びる。
ちなみに，$\Omega_{\Lambda} = 0$ の場合，$\Omega_{\rm m}$ が小さいほど宇宙年齢は伸びるので，その最大値は…
tlong: integrate(f(x, 0, 0), x, 0, 1);
つまり，$$t_0 \rightarrow \frac{1}{H_0}$$が最大値になる。
被積分関数 $f(x, \Omega, \Omega_1)$ は $\Omega_1$ の単調増加関数であることは，以下からわかる。
diff(f(x, Omega, Omega1), Omega1);
$0 < x < 1$ では $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \Omega_1} > 0$
従って，$H_0$ や $\Omega_{\rm m}$ が同じなら $\Omega_{\Lambda}$ が大きい方が宇宙年齢が伸びる。