置換積分

積分変数 \(x\) をうまく変換すると，積分の計算が簡単になる場合がある。

つまり，被積分関数 \(f(x)\) において，\( x = \varphi(t)\) と置いて，\(x\) に関する積分を新しい変数 \(t\) に関する積分に置き換える。

このとき，被積分関数を新たな変数 \(t\) で表し，また微分 \(dx\) を \(\displaystyle \frac{dx}{dt} dt = \frac{d\varphi}{dt} dt = \varphi'(t) dt \) で置き換え，

$$\int f(x)\,dx = \int f[\varphi(t)] \varphi'(t) \,dt$$

定積分の場合には \(x\) の積分範囲 \(a, b\) も \(a = \varphi(\alpha), b = \varphi(\beta)\) となる \(t\) の積分範囲 \(\alpha, \beta\) に置き換えて，以下のようになる。
$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_{\alpha}^{\beta} f[\varphi(t)] \varphi'(t) \,dt$$

… ということになるが，現実的には \( t = g(x)\) として \(x\) の関数として新たな変数 \(t\) を定義することになるだろう。また，不定積分の場合は最終的な結果は元の積分変数 \(x\) で表すことになる。

例題 1

\(\displaystyle \int \frac{\log x}{x} dx\)

これは，\(x = e^t\) と置く… というよりは，\( \log x \equiv t\) と置くとするのが現実的な発想であろう。そうすると，\(\displaystyle  \frac{1}{x} dx = dt\) であるから，
\begin{eqnarray}
\int \frac{\log x}{x} dx &=& \int t\, dt \\
&=& \frac{t^2}{2} + C\\
&=& \frac{(\log x)^2}{2} + C
\end{eqnarray}

例題 2

\(\displaystyle \int \sin ax\, \cos ax\, dx\)

たとえば，\( \sin ax \equiv t\) とおくと

\begin{eqnarray}
\cos ax\ a dx &=& dt \\
\therefore\ \ \cos ax\ dx &=& \frac{dt}{a} \\
\therefore\ \ \int \sin ax\, \cos ax\, dx &=& \int t \ \frac{dt}{a} \\
&=& \frac{t^2}{2 a} + C \\
&=& \frac{\sin^2 a x}{2 a} + C
\end{eqnarray}

あるいは，\( \cos ax \equiv t\) とおくと

\begin{eqnarray}
-\sin ax\ a dx &=& dt \\
\therefore\ \ \sin ax\ dx &=& -\frac{dt}{a} \\
\therefore\ \ \int \sin ax\, \cos ax\, dx &=& -\int t \ \frac{dt}{a} \\
&=& -\frac{t^2}{2 a} + C \\
&=& -\frac{\cos^2 a x}{2 a} + C
\end{eqnarray}

あるいはまた，倍角の公式を使うと

\begin{eqnarray}
\int \sin ax\, \cos ax\  dx &=& \frac{1}{2} \int \sin (2 a x) \ dx \\
&=& \frac{1}{4a} \int \sin (2 a x) \cdot 2 a dx \\
&& \quad (2 a x \equiv t) \\
&=& \frac{1}{4a} \int \sin t \ dt \\
&=& -\frac{\cos t}{4a} + C \\
&=& -\frac{\cos 2 a x}{4a} + C
\end{eqnarray}

となり，1つの不定積分に対して見かけ上，3通りの答えがでてくる。これらが（積分定数の不定性を考慮すれば）同等であることを確認しておくこと。

Maxima や Python の SymPy を使ってコンピュータで積分させると，以下のように一見別の答えが出てくるので，そんな時も少しも騒がず，その同等性を示すのが（機械ではなく）人類の役割なんですよ。

'integrate(sin(a*x)*cos(a*x), x) = 
 integrate(sin(a*x)*cos(a*x), x);

一方，Python の SymPy では，

from sympy import *
from sympy.abc import *

Eq(Integral(sin(a*x)*cos(a*x), x), 
   integrate(sin(a*x)*cos(a*x), x))