定義
1 変数 \(x\) の関数 \(y = f(x) \) の「導関数」とは
$$ \frac{df}{dx} \equiv \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) -f(x)} {(x + h) -x} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) -f(x)} { h}$$
つまり，変数 \(x\) が \(x\) から \(x + h\) に変化するとき，関数 \( f(x)\) の変化分 \( f(x + h) -f(x) \) を変数 \( x\) の変化分 \( (x+h) -x = h\) で割った変化率の \(h \rightarrow 0\) の極限。
\(f(x)\) の導関数を求めることを「\(f(x)\) を微分する」という。
表記
\( y = f(x) \) の導関数の表記例：
$$ \frac{dy}{dx}, \quad y’, \quad \frac{df}{dx}, \quad f'(x), \quad \left\{f(x)\right\}’, \quad \frac{d}{dx} f(x), \mbox{etc.} \ \ \dots$$
注意：
力学等で \(x(t), y(t)\) のように変数 \(t\) の関数である場合，
$$ \frac{dx}{dt} = \dot{x}, \ \ \frac{dy}{dt} = \dot{y} $$ のように，\(\dot{\ } \) （ドット）で微分を表す。もし，\( {\ }’ \) （ダッシュ，プライム）で微分を表すと
$$ x’ = \frac{dx}{dx} = 1$$ と勘違いされるから。
高木貞治著「解析概論」によれば，記号 \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) はライプニッツからの伝統，\(f'(x) \) はラグランジュの用例，\( \dot{x}, \dot{y} \) はニュートンの用例であると記載がある。
例
\( f(x) = x^2 \) を微分する。
\begin{eqnarray}
\frac{df}{dx} &=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x + h)^2 -x^2}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x^2 + 2 h x + h^2) -x^2}{h} \\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{2 h x + h^2}{h} \\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} (2 x + h) = 2 x
\end{eqnarray}