例題 1.
曲線（実際には直線だが）$y = x$ の $0 \le x \le 1$ の長さを求めよ。
ヒント：積分をしなくても $(0,0)$ と $(1, 1)$ をむすぶ直線の長さだから答えは $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。
例題 2.
曲線（これは放物線）$y = x^2$ の $0 \le x \le 1$ の長さを求めよ。
ヒント：無理関数の積分で $\displaystyle \int \sqrt{1+x^2}\, dx $ はわかっている。じゃあ，$\displaystyle \int \sqrt{1+(2 x)^2}\, dx $ もできるよね。
例題 3.
カテナリー曲線 $\displaystyle y = \frac{1}{a} \left( \cosh( ax ) -1 \right) + h$ の $0 \le x \le \frac{1}{a}$ の長さを求めよ。
- 参考：カテナリー曲線
例題 4.
長半径 $a$, 短半径 $b$ の楕円の面積を求めよ。