\(1. \quad\displaystyle \int_0^2 \log x\, dx\)
$$\int_0^2 \log x\, dx = \Bigl[ x \log x -x \Bigr]_0^2 = \cdots$$
そもそも被積分関数 $\log x$ は $x = 0$ で有界ではない。
\(\displaystyle 0\times\log 0 \) は \( 0 \times (-\infty)\) になってしまいそうだが，どうする？
$$\lim_{x \rightarrow 0} x \log x = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log x}{\frac{1}{x}} = \cdots$$
\(\displaystyle \frac{-\infty}{\infty}\) の形の不定形だから，ロピタルの定理を使って…
\(2. \quad\displaystyle \int_1^{\infty} \frac{\log x}{x^2}\,dx\)
これも，そもそも被積分関数 $\displaystyle \frac{\log x}{x^2}$ が $x \rightarrow \infty$ で $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$ の不定形になっている。積分するまえに極限
$$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\log x}{x^2}$$
がどうなっているかを確認。
その後，まずなんとかして原始関数を求め，\(x \rightarrow \infty\) のときに不定形になるようだったら，ロピタルの定理で…
\(3. \quad\displaystyle \int_0^{\infty} x^2 e^{-2x}\,dx\)
\(4. \quad\displaystyle \int_0^{\infty} x^3 e^{-x^2}\,dx\)