弧度法（ラジアン単位）で \(x\) を表すと，
$$(\sin x)’ = \cos x, \quad (\cos x)’ = -\sin x, \quad (\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}$$
となることを示す。
三角関数の定義
図のような半径 \(r\) の円上の点 \(P({\color{blue}{x}}, {\color{red}{y}})\) を考え，\(x\) 軸からの（反時計回りを正の向きとし，ラジアンで表した）角度を \({\color{green}{\theta}}\) とすると，三角関数は以下のように定義されるのであった。
$$
\cos{\color{green}{\theta}} = \frac{\color{blue}{x}}{r}, \quad
\sin{\color{green}{\theta}} = \frac{\color{red}{y}}{r}, \quad
\tan{\color{green}{\theta}} = \frac{\color{red}{y}}{\color{blue}{x}} = \frac{\sin{\color{green}{\theta}}}{\cos{\color{green}{\theta}}}
$$
三角関数の基本公式
$$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$$
念のため，\(\cos^2\theta = \left( \cos\theta\right)^2, \ \sin^2\theta = \left( \sin\theta\right)^2\) のことです。
これは直角三角形に対するピタゴラスの定理（三平方の定理）
$$ x^2 + y^2 = r^2$$
の両辺を \(r^2\) で割って三角関数で書きなおしたものに他ならない。
また，三角関数の加法定理に頼るまでもなく，以下のことは上図の直角三角形を「横倒し」にして眺めてみればわかるだろう。
$$\cos\left( {\color{purple}{\frac{\pi}{2} -\theta}}\right) = \frac{\color{red}{y}}{r} = \sin {\color{green}{\theta}}, \quad \sin\left( {\color{purple}{\frac{\pi}{2} -\theta}}\right) = \frac{\color{blue}{x}}{r} = \cos {\color{green}{\theta}}$$
微分を示すために必要な公式
三角関数の微分を示すために必要なのは，次の4つ。これらを簡単に説明。
まず，三角関数の極限公式
1. \(\quad\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)
2. \(\quad\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0 \)
証明は，1. を使って，
$$ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin^2 x}{x} = \lim_{x\rightarrow 0} \sin x\cdot \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 0\cdot 1 = 0$$
一方，
\begin{eqnarray}
\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin^2 x}{x} &=&
\lim_{x \rightarrow 0}\frac{(1+\cos x)(1-\cos x)}{x} \\
&=& \lim_{x \rightarrow 0}(1+\cos x)\cdot \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x}\\
&=& 2 \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x}
\end{eqnarray}
したがって
$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x} = 0$$
そして，三角関数の加法定理：
3. \(\displaystyle \quad \sin (x + h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h \)
4. \(\displaystyle \quad \cos(x+h) = \cos x \cos h -\sin x \sin h \)
定義から導く三角関数の微分
導関数の定義から \( (\sin x)’\) は，
\begin{eqnarray}
(\sin x)’ &=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(x + h) -\sin x}{h} \\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(\sin x \cos h + \cos x \sin h) -\sin x}{h}\\
&=& \sin x\cdot\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(\cos h -1)}{h} + \cos x\cdot\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}\\
&=& \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1\\
&=& \cos x
\end{eqnarray}
\( (\cos x)’\) も同様に
\begin{eqnarray}
(\cos x)’ &=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos(x + h) -\cos x}{h} \\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(\cos x \cos h -\sin x \sin h)-\cos x}{h}\\
&=& \cos x\cdot\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(\cos h -1)}{h} -\sin x\cdot\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}\\
&=& \cos x \cdot 0 -\sin x \cdot 1\\
&=& -\sin x
\end{eqnarray}
\( (\sin x)’ \) の微分だけ覚えておけば，他はすべて導けるんだという立場を好む人ならば，\( \displaystyle\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} -x\right) \) を使い，\(u \equiv \displaystyle \frac{\pi}{2} -x\) とおいて合成関数の微分を使って証明しましょう。
\begin{eqnarray}
(\cos x)’ &=& \frac{d}{dx} \sin\left(\frac{\pi}{2} -x\right) \\
&=& \frac{d\sin u}{du} \frac{du}{dx} \\
&=& \cos \left(\frac{\pi}{2} -x\right) \cdot (-1) \\
&=& -\sin x
\end{eqnarray}
\( (\tan x)’ \) については，微分法の公式 5. より
$$ (\tan x)’ = \left\{ \frac{\sin x}{\cos x} \right\}’ = \frac{(\sin x)’ \cos x -\sin x (\cos x)’}{\cos^2 x} = \cdots$$
として，\( \cos^2 x + \sin^2 x = 1\) を使うのであった。
三角関数のグラフ
3つまとめてグラフにすると…
