有理関数とは
たとえば
$$f(x) = \frac{2 x^3 + 3 x^2 -2 x -1}{x^2 + x -2}$$
のように，\(\displaystyle \frac{多項式}{多項式}\) の形になっている関数を有理関数という。
割り算後，部分分数に分解して…
有理関数を積分する際は，部分分数に展開してから積分する。
上記の \(f(x)\) の場合は，分子の次数が分母より高いのでまず割り算してから残りを部分分数に分解。
\begin{eqnarray}
f(x) &=& \frac{2 x^3 + 3 x^2 -2 x -1}{x^2 + x -2} \\
&=& \frac{(2x + 1)(x^2 + x -2) + x+ 1}{x^2 + x -2}\\
&=& 2x + 1 + \frac{ x+ 1}{(x+2)(x-1)}\\
&=& 2x + 1 + \frac{1}{3} \frac{1}{x+2} + \frac{2}{3} \frac{1}{x-1}
\end{eqnarray}
したがって
\begin{eqnarray}
\int f(x) dx &=& \int (2 x + 1) dx + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x+2} dx + \frac{2}{3} \int \frac{1}{x-1}dx\\
&=& x^2 + x + \frac{1}{3} \log |x+2| + \frac{2}{3} \log |x-1| + C\\
&=& x^2 + x + \frac{1}{3} \log \left(|x+2| (x-1)^2 \right) + C
\end{eqnarray}
簡単な例
\begin{eqnarray}
\int \frac{dx}{1-x^2} &=& \int \frac{dx}{(1+x)(1-x)} \\
&=& \int \left\{\frac{A}{1+x} + \frac{B}{1-x} \right\} \,dx \\
&=& \frac{1}{2} \int \left\{ \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x}\right\} \,dx \\
&=& \frac{1}{2} \left\{ \log |1+x| -\log |1-x|\right\} + C\\
&=& \frac{1}{2} \log \left| \frac{1+x}{1-x} \right| + C\\
&=& \tanh^{-1} x + C
\end{eqnarray}
一挙に \(\displaystyle \int \frac{dx}{1-x^2} = \tanh^{-1} x + C\) としてもよいだろうが，$x$ の範囲に注意。\(\tanh^{-1} x\) の定義域は $-1 < x < 1$。
あまり見かけないかもしれないが将来使う例
有理関数の積分だが，部分分数に分解すればよいというわけではない例。こんな積分，どこで使うんだと思うかもしれないが，実は宇宙年齢のところで使ったりするのですよ。
練習問題 1. \(\displaystyle \int \frac{dx}{1+x^2} \)
これは部分分数とかではなく，逆三角関数の微分を思い出して
$$\int \frac{dx}{1+x^2} = \tan^{-1} x $$
練習問題 2. \(\displaystyle \int \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} dx\)
\begin{eqnarray}
\int \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} dx
&=& \int \frac{(1 + x^2) -2 x^2}{(1+x^2)^2} dx \\
&=& \int \frac{x’ (1 + x^2) -x (1+ x^2)’}{(1+x^2)^2} dx \\
&=& \int \frac{d}{dx}\left\{ \frac{x}{1+x^2}\right\} dx \\
&=& \frac{x}{1+x^2}
\end{eqnarray}
すなおに部分分数分解すると，
\begin{eqnarray}
\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} &=& \frac{A}{1+x^2} + \frac{B}{(1+x^2)^2} \\
&=& -\frac{1}{1+x^2} + \frac{2}{(1+x^2)^2}
\end{eqnarray}
だが…
練習問題 3. \(\displaystyle \int \frac{2 x^2}{(1+x^2)^2} dx\)
これは上記2例の合わせ技で
\begin{eqnarray}
\int \frac{2 x^2}{(1+x^2)^2} dx
&=& \int \left\{ \frac{1+x^2}{(1+x^2)^2} -\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\right\} dx \\
&=& \int \left\{ \frac{1}{1+x^2} -\frac{1 -x^2}{(1+x^2)^2}\right\} dx \\
&=& \tan^{-1} x -\frac{x}{1+x^2}
\end{eqnarray}
練習問題 4. \(\displaystyle \int \frac{2}{(1+x^2)^2} dx\)
こんな積分，いったいどこで使うんだと思うかもしれませんが，こんなところで使われているんですよ。
\begin{eqnarray}
\int \frac{2}{(1+x^2)^2} dx &=& \int\left\{\frac{2}{1+x^2} -\frac{2x^2}{(1+x^2)^2} \right\}\,dx \\
&=& 2 \tan^{-1} x -\left( \tan^{-1} x -\frac{x}{1+x^2}\right) \\
&=& \tan^{-1} x + \frac{x}{1+x^2}
\end{eqnarray}