必要なモジュールの import

In [1]:

from sympy.abc import *
from sympy import *

init_printing()

SymPy におけるベクトルの表記

Matrix() を使ってベクトルを表記します。

In [2]:

# ベクトルの成分
var('a1:4, b1:4, c1:4');

In [3]:

a = Matrix([a1, a2, a3])
b = Matrix([b1, b2, b3])
c = Matrix([c1, c2, c3])

ベクトルの演算

足算，引き算

ベクトルの足算引き算をしてみると，成分同士の足算引き算になっていることがわかります。

In [4]:

a + b

Out[4]:

[\begin{matrix} a_{1} + b_{1} \\ a_{2} + b_{2} \\ a_{3} + b_{3} \end{matrix}]

In [5]:

a - b

Out[5]:

[\begin{matrix} a_{1} - b_{1} \\ a_{2} - b_{2} \\ a_{3} - b_{3} \end{matrix}]

ベクトルの定数倍

ベクトルの定数倍は，各成分をそれぞれ定数倍したものになっています。

In [6]:

C * a

Out[6]:

[\begin{matrix} C a_{1} \\ C a_{2} \\ C a_{3} \end{matrix}]

ベクトルの内積

ベクトルの内積は $a \cdot b =$ a.dot(b) です。

In [7]:

a.dot(b)

Out[7]:

a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}

ベクトルの大きさ

ベクトル $a$ の大きさ $| a |$ は自分自身との内積の平方根として定義されます。
$| a | \equiv \sqrt{a \cdot a}$

ベクトルの大きさを返す関数 norm() を以下のように定義します。

In [8]:

def norm(v):
    return sqrt(v.dot(v))

今定義した norm() を使って，ベクトル $a$ の大きさ $| a |$ を計算してみます。

In [9]:

norm(a)

Out[9]:

\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

ベクトルの外積

ベクトルの外積は $a \times b =$ a.cross(b) です。

In [10]:

a.cross(b)

Out[10]:

[\begin{matrix} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ - a_{1} b_{3} + a_{3} b_{1} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{matrix}]

外積は「反交換」

$a \times b \neq b \times a$ であること，具体的には以下のように「反交換」であることを確認します。
$a \times b = - b \times a$

$a \times b + b \times a = 0$ となることを示せばいいです。

In [11]:

a.cross(b) + b.cross(a)

Out[11]:

[\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]

ベクトルの三重積

スカラー三重積

3つのベクトル $a, b, c$ によるスカラー三重積は $a \cdot (b \times c)$ であり，これは結局はスカラーとなります。スカラー三重積には，以下のような公式があります。

$a \cdot (b \times c) = b \cdot (c \times a) = c \cdot (a \times b)$

$a \cdot (b \times c) = b \cdot (c \times a)$ つまり，
$a \cdot (b \times c) - b \cdot (c \times a) = 0$ を示してみます。

In [12]:

a.dot(b.cross(c)) - b.dot(c.cross(a))
# カッコをはずして展開する
expand(_)

Out[12]:

[\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]

同様にして， $b \cdot (c \times a) - c \cdot (a \times b) = 0$ を示してみます。

In [13]:

b.dot(c.cross(a)) - c.dot(a.cross(b))

Out[13]:

b_{1} (- a_{2} c_{3} + a_{3} c_{2}) + b_{2} (a_{1} c_{3} - a_{3} c_{1}) + b_{3} (- a_{1} c_{2} + a_{2} c_{1}) - c_{1} (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) - c_{2} (- a_{1} b_{3} + a_{3} b_{1}) - c_{3} (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})

In [14]:

expand(_)

Out[14]:

0

ベクトル三重積

3つのベクトル $a, b, c$ によるベクトル三重積は $a \times (b \times c)$ であり，これは結局はベクトルをつくります。ベクトル三重積には，以下のような公式があります。

$a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$

一挙に証明するには，

In [15]:

a.cross(b.cross(c)) - (a.dot(c) * b - a.dot(b) * c)

Out[15]:

[\begin{matrix} a_{2} (b_{1} c_{2} - b_{2} c_{1}) - a_{3} (- b_{1} c_{3} + b_{3} c_{1}) - b_{1} (a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + a_{3} c_{3}) + c_{1} (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}) \\ - a_{1} (b_{1} c_{2} - b_{2} c_{1}) + a_{3} (b_{2} c_{3} - b_{3} c_{2}) - b_{2} (a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + a_{3} c_{3}) + c_{2} (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}) \\ a_{1} (- b_{1} c_{3} + b_{3} c_{1}) - a_{2} (b_{2} c_{3} - b_{3} c_{2}) - b_{3} (a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + a_{3} c_{3}) + c_{3} (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}) \end{matrix}]

In [16]:

expand(_)

Out[16]:

[\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]

参考：SymPy でベクトルの演算