例題 1.
曲線（実際には直線だが）$y = x$ の $0 \le x \le 1$ の長さを求めよ。
ヒント：積分をしなくても $(0,0)$ と $(1, 1)$ をむすぶ直線の長さだから答えは $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。
例題 2.
曲線（これは放物線）$y = x^2$ の $0 \le x \le 1$ の長さを求めよ。
ヒント：無理関数の積分で $\displaystyle \int \sqrt{1+x^2}\, dx $ はわかっている。じゃあ，$\displaystyle \int \sqrt{1+(2 x)^2}\, dx $ もできるよね。
例題 3.
カテナリー曲線 $\displaystyle y = \frac{1}{a} \left( \cosh( ax ) -1 \right) + h$ の $0 \le x \le \frac{1}{a}$ の長さを求めよ。
\begin{eqnarray}
\frac{dy}{dx} &=& \sinh (ax) \\
\therefore\ \ L &=& \int_0^{\frac{1}{a}} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\, dx \\
&=& \cdots
\end{eqnarray}
双曲線関数の関係 $\cosh^2 t – \sinh^2 t = 1$ も忘れないで…
- 参考：カテナリー曲線
例題 4.
長半径 $a$, 短半径 $b$ の楕円の面積を求めよ。
$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ の楕円の面積。
$a > b > 0$ として $a$ は長半径，$b$ は短半径と呼ぶ。離心率 $e$ を使って書くと，$b = a \sqrt{1-e^2}$。
$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ より $\displaystyle y = \pm b \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}$。上半分の面積，つまり $\displaystyle y = b \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求めて2倍すればよいから，
\begin{eqnarray}
S &=& 2 \int_{-a}^a b \sqrt{1 –\frac{x^2}{a^2}} dx \\
&&\qquad (x \equiv a \sin\theta, \ \sqrt{1 -\frac{x^2}{a^2}} = \cos\theta, \ dx = a \cos\theta d\theta)\\
&=& 2 a b \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2\theta d\theta\\
&=& a b \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1 + \cos 2\theta) d\theta \\
&=&a b \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta\right]_{-\pi/2}^{\pi/2} \\
&=& \pi a b
\end{eqnarray}