静電場を求める際に使った積分を Maxima-Jupyter で確認する

一様な線電荷による電場で使った積分

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{{(x^{2} + y^{2} + (z - z^{'})^{2})}^{3 / 2}} d z^{'} = \frac{2}{x^{2} + y^{2}}

および

$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{z - z^{'}}{{(x^{2} + y^{2} + (z - z^{'})^{2})}^{3 / 2}} d z^{'} = 0$

の確認。

In [1]:

/* 分母がゼロにならないように仮定します。*/
assume(x > 0)$

In [2]:

'integrate(1/(x**2 + y**2 + (z-z1)**2)**(3/2), z1, -inf, inf) = 
 integrate(1/(x**2 + y**2 + (z-z1)**2)**(3/2), z1, -inf, inf);

Out[2]:

\begin{matrix} ({% o}_{2}) & \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{{({(z - z_{1})}^{2} + y^{2} + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d z_{1} = \frac{2}{y^{2} + x^{2}} \end{matrix}

In [3]:

'integrate( (z-z1)/(x**2 + y**2 + (z-z1)**2)**(3/2) , z1, -inf, inf) = 
 integrate( (z-z1)/(x**2 + y**2 + (z-z1)**2)**(3/2) , z1, -inf, inf);

Out[3]:

\begin{matrix} ({% o}_{3}) & \int_{- \infty}^{\infty} \frac{z - z_{1}}{{({(z - z_{1})}^{2} + y^{2} + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d z_{1} = 0 \end{matrix}

軸対称な電荷分布による電場で使った積分の確認

$\int_{0}^{2 π} d ϕ^{'} \frac{x - r^{'} \cos ϕ^{'}}{(x - r^{'} \cos ϕ^{'})^{2} + (y - r^{'} \sin ϕ^{'})^{2}} = \frac{2 π x}{x^{2} + y^{2}} H (\sqrt{x^{2} + y^{2}} - r^{'})$

および

$\int_{0}^{2 π} d ϕ^{'} \frac{y - r^{'} \sin ϕ^{'}}{(x - r^{'} \cos ϕ^{'})^{2} + (y - r^{'} \sin ϕ^{'})^{2}} = \frac{2 π y}{x^{2} + y^{2}} H (\sqrt{x^{2} + y^{2}} - r^{'})$

の確認。

In [4]:

/* r > r' の場合 */

facts(r1)$
forget(%)$

assume(0 < r1, r1 < sqrt(x**2+y**2))$

'integrate((x-r1*cos(phi1))/
    (x**2+y**2+r1**2-2*r1*(x*cos(phi1)+y*sin(phi1))), phi1, 0, 2*%pi)=
    integrate((x-r1*cos(phi1))/
    (x**2+y**2+r1**2-2*r1*(x*cos(phi1)+y*sin(phi1))), phi1, 0, 2*%pi);

X           2    2
          y  + x
Is --------------------- - 1 positive, negative or zero?
          2  2     2  2
   sqrt(r1  y  + r1  x )
\           2    2
          y  + x
Is --------------------- - 1 positive, negative or zero?
          2  2     2  2
   sqrt(r1  y  + r1  x )
positive;

Out[4]:

\begin{matrix} ({% o}_{7}) & \int_{0}^{2 π} \frac{x - \cos φ_{1} r_{1}}{y^{2} - 2 r_{1} (\sin φ_{1} y + \cos φ_{1} x) + x^{2} + r_{1}^{2}} d φ_{1} = \frac{2 π x}{y^{2} + x^{2}} \end{matrix}

In [5]:

/* r < r' の場合 */

facts(r1)$
forget(%)$

assume(0 < r1, r1 > sqrt(x**2+y**2))$

'integrate((x-r1*cos(phi1))/
    (x**2+y**2+r1**2-2*r1*(x*cos(phi1)+y*sin(phi1))), phi1, 0, 2*%pi)=
    integrate((x-r1*cos(phi1))/
    (x**2+y**2+r1**2-2*r1*(x*cos(phi1)+y*sin(phi1))), phi1, 0, 2*%pi);

X           2    2
          y  + x
Is --------------------- - 1 positive, negative or zero?
          2  2     2  2
   sqrt(r1  y  + r1  x )
\           2    2
          y  + x
Is --------------------- - 1 positive, negative or zero?
          2  2     2  2
   sqrt(r1  y  + r1  x )
negative;

Out[5]:

\begin{matrix} ({% o}_{11}) & \int_{0}^{2 π} \frac{x - \cos φ_{1} r_{1}}{y^{2} - 2 r_{1} (\sin φ_{1} y + \cos φ_{1} x) + x^{2} + r_{1}^{2}} d φ_{1} = 0 \end{matrix}

In [6]:

/* r > r' の場合 */

facts(r1)$
forget(%)$

assume(0 < r1, r1 < sqrt(x**2+y**2))$

'integrate((y-r1*sin(phi1))/
    (x**2+y**2+r1**2-2*r1*(x*cos(phi1)+y*sin(phi1))), phi1, 0, 2*%pi)=
    integrate((y-r1*sin(phi1))/
    (x**2+y**2+r1**2-2*r1*(x*cos(phi1)+y*sin(phi1))), phi1, 0, 2*%pi);

X           2    2
          y  + x
Is --------------------- - 1 positive, negative or zero?
          2  2     2  2
   sqrt(r1  y  + r1  x )
\           2    2
          y  + x
Is --------------------- - 1 positive, negative or zero?
          2  2     2  2
   sqrt(r1  y  + r1  x )
positive;

Out[6]:

\begin{matrix} ({% o}_{15}) & \int_{0}^{2 π} \frac{y - \sin φ_{1} r_{1}}{y^{2} - 2 r_{1} (\sin φ_{1} y + \cos φ_{1} x) + x^{2} + r_{1}^{2}} d φ_{1} = \frac{2 π y}{y^{2} + x^{2}} \end{matrix}

In [7]:

/* r < r' の場合 */

facts(r1)$
forget(%)$

assume(0 < r1, r1 > sqrt(x**2+y**2))$

'integrate((y-r1*sin(phi1))/
    (x**2+y**2+r1**2-2*r1*(x*cos(phi1)+y*sin(phi1))), phi1, 0, 2*%pi)=
    integrate((y-r1*sin(phi1))/
    (x**2+y**2+r1**2-2*r1*(x*cos(phi1)+y*sin(phi1))), phi1, 0, 2*%pi);

X           2    2
          y  + x
Is --------------------- - 1 positive, negative or zero?
          2  2     2  2
   sqrt(r1  y  + r1  x )
\           2    2
          y  + x
Is --------------------- - 1 positive, negative or zero?
          2  2     2  2
   sqrt(r1  y  + r1  x )
negative;

Out[7]:

\begin{matrix} ({% o}_{19}) & \int_{0}^{2 π} \frac{y - \sin φ_{1} r_{1}}{y^{2} - 2 r_{1} (\sin φ_{1} y + \cos φ_{1} x) + x^{2} + r_{1}^{2}} d φ_{1} = 0 \end{matrix}

一様な面電荷による電場で使った積分

$\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{x}{{(x^{2} + (y - y^{'})^{2} + (z - z^{'})^{2})}^{3 / 2}} d y^{'} d z^{'} = 2 π \frac{x}{| x |}$

の確認。

In [8]:

/* x > 0 の場合 */
facts(x)$
forget(%)$
/* あらためて x > 0 と仮定します。*/
assume(x > 0)$

'integrate(
    'integrate(
      x/(x**2 + (y-y1)**2 + (z-z1)**2)**(3/2), 
      y1, -inf, inf), 
  z1, -inf, inf) =
 integrate(
    integrate(
      x/(x**2 + (y-y1)**2 + (z-z1)**2)**(3/2), 
      y1, -inf, inf), 
  z1, -inf, inf);

X     2             2    2
Is z1  - 2 z z1 + z  + x  zero or nonzero?
\     2             2    2
Is z1  - 2 z z1 + z  + x  zero or nonzero?
nonzero;

Out[8]:

\begin{matrix} ({% o}_{23}) & x \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{{({(z - z_{1})}^{2} + {(y - y_{1})}^{2} + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y_{1} d z_{1} = 2 π \end{matrix}

In [9]:

/* x < 0 の場合 */
facts(x)$
forget(%)$

/* あらためて x < 0 と仮定します。*/
assume(x < 0)$

'integrate(
    'integrate(
      x/(x**2 + (y-y1)**2 + (z-z1)**2)**(3/2), 
      y1, -inf, inf), 
  z1, -inf, inf) =
 integrate(
    integrate(
      x/(x**2 + (y-y1)**2 + (z-z1)**2)**(3/2), 
      y1, -inf, inf), 
  z1, -inf, inf);

X     2             2    2
Is z1  - 2 z z1 + z  + x  zero or nonzero?
\     2             2    2
Is z1  - 2 z z1 + z  + x  zero or nonzero?
nonzero;

Out[9]:

\begin{matrix} ({% o}_{27}) & x \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{{({(z - z_{1})}^{2} + {(y - y_{1})}^{2} + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y_{1} d z_{1} = - 2 π \end{matrix}

球対称な電荷分布による電場で使った積分

$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{π} \sin θ^{'} d θ^{'} \frac{(r - r^{'} \cos θ^{'})}{{r^{2} + (r^{'})^{2} - 2 r r^{'} \cos θ^{'}}^{3 / 2}} & = & \frac{2 π}{r^{2}} (\frac{r + r^{'}}{| r + r^{'} |} + \frac{r - r^{'}}{| r - r^{'} |}) \\ = & {\begin{cases} \frac{4 π}{r^{2}} & (r^{'} < r) \\ 0 & (r^{'} > r) \end{cases} \end{array}$

の確認。

In [10]:

integrate(
  (r-r1*cos(theta1))*sin(theta1)
   /(r**2 + r1**2 - 2*r*r1*cos(theta1))**(3/2), theta1, 0, %pi);

Out[10]:

\begin{matrix} ({% o}_{28}) & \frac{r_{1} + r}{r^{2} \sqrt{r_{1}^{2} + 2 r r_{1} + r^{2}}} - \frac{r_{1} - r}{r^{2} \sqrt{r_{1}^{2} - 2 r r_{1} + r^{2}}} \end{matrix}

参考：静電場を求める際に使った積分を Maxima-Jupyter で確認する

静電場を求める際に使った積分を Maxima-Jupyter で確認する

一様な線電荷による電場で使った積分

軸対称な電荷分布による電場で使った積分の確認

一様な面電荷による電場で使った積分

球対称な電荷分布による電場で使った積分

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