Return to 静電場：電荷密度から直接静電場を求める

参考：静電場を求める際に使った積分を Maxima-Jupyter で確認する

静電場を求める際に使った積分を Maxima-Jupyter で確認する

一様な線電荷による電場で使った積分

$$\int_{-\infty}^{\infty}
\frac{1}{\left(x^2 + y^2 + (z-z’)^2\right)^{3/2}} dz’ =  \frac{2}{x^2 + y^2}$$および

$$\int_{-\infty}^{\infty}
\frac{z – z’}{\left(x^2 + y^2 + (z-z’)^2\right)^{3/2}} dz’ =0$$

の確認。

In [1]:
/* 分母がゼロにならないように仮定します。*/
assume(x > 0)$
In [2]:
'integrate(1/(x**2 + y**2 + (z-z1)**2)**(3/2), z1, -inf, inf) = 
 integrate(1/(x**2 + y**2 + (z-z1)**2)**(3/2), z1, -inf, inf);
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{2}$}\int_{-\infty }^{\infty }{\frac{1}{\left(\left(z-z_{1}\right)^2+y^2+x^2\right)^{\frac{3}{2}}}\;dz_{1}}=\frac{2}{y^2+x^2}\]
In [3]:
'integrate( (z-z1)/(x**2 + y**2 + (z-z1)**2)**(3/2) , z1, -inf, inf) = 
 integrate( (z-z1)/(x**2 + y**2 + (z-z1)**2)**(3/2) , z1, -inf, inf);
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{3}$}\int_{-\infty }^{\infty }{\frac{z-z_{1}}{\left(\left(z-z_{1}\right)^2+y^2+x^2\right)^{\frac{3}{2}}}\;dz_{1}}=0\]

軸対称な電荷分布による電場で使った積分の確認

$$\int_0^{2\pi} d\phi’ \frac{x-r’ \cos\phi’}{(x-r’ \cos \phi’)^2 + (y-r’ \sin \phi’)^2} = \frac{2\pi x}{x^2 + y^2} H(\sqrt{x^2 + y^2} – r’)$$

および

$$\int_0^{2\pi} d\phi’ \frac{y-r’ \sin\phi’}{(x-r’ \cos \phi’)^2 + (y-r’ \sin \phi’)^2} = \frac{2\pi y}{x^2 + y^2} H(\sqrt{x^2 + y^2} – r’)$$

の確認。

In [4]:
/* r > r' の場合 */

facts(r1)$
forget(%)$

assume(0 < r1, r1 < sqrt(x**2+y**2))$

'integrate((x-r1*cos(phi1))/
    (x**2+y**2+r1**2-2*r1*(x*cos(phi1)+y*sin(phi1))), phi1, 0, 2*%pi)=
    integrate((x-r1*cos(phi1))/
    (x**2+y**2+r1**2-2*r1*(x*cos(phi1)+y*sin(phi1))), phi1, 0, 2*%pi);

X           2    2
          y  + x
Is --------------------- - 1 positive, negative or zero?
          2  2     2  2
   sqrt(r1  y  + r1  x )
\           2    2
          y  + x
Is --------------------- - 1 positive, negative or zero?
          2  2     2  2
   sqrt(r1  y  + r1  x )
positive;
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{7}$}\int_{0}^{2\,\pi}{\frac{x-\cos \varphi_{1}\,r_{1}}{y^2-2\,r_{1}\,\left(\sin \varphi_{1}\,y+\cos \varphi_{1}\,x\right)+x^2+r_{1}^2}\;d\varphi_{1}}=\frac{2\,\pi\,x}{y^2+x^2}\]
In [5]:
/* r < r' の場合 */

facts(r1)$
forget(%)$

assume(0 < r1, r1 > sqrt(x**2+y**2))$

'integrate((x-r1*cos(phi1))/
    (x**2+y**2+r1**2-2*r1*(x*cos(phi1)+y*sin(phi1))), phi1, 0, 2*%pi)=
    integrate((x-r1*cos(phi1))/
    (x**2+y**2+r1**2-2*r1*(x*cos(phi1)+y*sin(phi1))), phi1, 0, 2*%pi);

X           2    2
          y  + x
Is --------------------- - 1 positive, negative or zero?
          2  2     2  2
   sqrt(r1  y  + r1  x )
\           2    2
          y  + x
Is --------------------- - 1 positive, negative or zero?
          2  2     2  2
   sqrt(r1  y  + r1  x )
negative;
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{11}$}\int_{0}^{2\,\pi}{\frac{x-\cos \varphi_{1}\,r_{1}}{y^2-2\,r_{1}\,\left(\sin \varphi_{1}\,y+\cos \varphi_{1}\,x\right)+x^2+r_{1}^2}\;d\varphi_{1}}=0\]
In [6]:
/* r > r' の場合 */

facts(r1)$
forget(%)$

assume(0 < r1, r1 < sqrt(x**2+y**2))$

'integrate((y-r1*sin(phi1))/
    (x**2+y**2+r1**2-2*r1*(x*cos(phi1)+y*sin(phi1))), phi1, 0, 2*%pi)=
    integrate((y-r1*sin(phi1))/
    (x**2+y**2+r1**2-2*r1*(x*cos(phi1)+y*sin(phi1))), phi1, 0, 2*%pi);

X           2    2
          y  + x
Is --------------------- - 1 positive, negative or zero?
          2  2     2  2
   sqrt(r1  y  + r1  x )
\           2    2
          y  + x
Is --------------------- - 1 positive, negative or zero?
          2  2     2  2
   sqrt(r1  y  + r1  x )
positive;
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{15}$}\int_{0}^{2\,\pi}{\frac{y-\sin \varphi_{1}\,r_{1}}{y^2-2\,r_{1}\,\left(\sin \varphi_{1}\,y+\cos \varphi_{1}\,x\right)+x^2+r_{1}^2}\;d\varphi_{1}}=\frac{2\,\pi\,y}{y^2+x^2}\]
In [7]:
/* r < r' の場合 */

facts(r1)$
forget(%)$

assume(0 < r1, r1 > sqrt(x**2+y**2))$

'integrate((y-r1*sin(phi1))/
    (x**2+y**2+r1**2-2*r1*(x*cos(phi1)+y*sin(phi1))), phi1, 0, 2*%pi)=
    integrate((y-r1*sin(phi1))/
    (x**2+y**2+r1**2-2*r1*(x*cos(phi1)+y*sin(phi1))), phi1, 0, 2*%pi);

X           2    2
          y  + x
Is --------------------- - 1 positive, negative or zero?
          2  2     2  2
   sqrt(r1  y  + r1  x )
\           2    2
          y  + x
Is --------------------- - 1 positive, negative or zero?
          2  2     2  2
   sqrt(r1  y  + r1  x )
negative;
Out[7]:
\[\tag{${\it \%o}_{19}$}\int_{0}^{2\,\pi}{\frac{y-\sin \varphi_{1}\,r_{1}}{y^2-2\,r_{1}\,\left(\sin \varphi_{1}\,y+\cos \varphi_{1}\,x\right)+x^2+r_{1}^2}\;d\varphi_{1}}=0\]

一様な面電荷による電場で使った積分

$$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x }{\left(x^2 + (y-y’)^2 + (z-z’)^2\right)^{3/2}}dy’ dz’ = 2 \pi \frac{x}{|x|}$$

の確認。

In [8]:
/* x > 0 の場合 */
facts(x)$
forget(%)$
/* あらためて x > 0 と仮定します。*/
assume(x > 0)$

'integrate(
    'integrate(
      x/(x**2 + (y-y1)**2 + (z-z1)**2)**(3/2), 
      y1, -inf, inf), 
  z1, -inf, inf) =
 integrate(
    integrate(
      x/(x**2 + (y-y1)**2 + (z-z1)**2)**(3/2), 
      y1, -inf, inf), 
  z1, -inf, inf);

X     2             2    2
Is z1  - 2 z z1 + z  + x  zero or nonzero?
\     2             2    2
Is z1  - 2 z z1 + z  + x  zero or nonzero?
nonzero;
Out[8]:
\[\tag{${\it \%o}_{23}$}x\,\int_{-\infty }^{\infty }{\int_{-\infty }^{\infty }{\frac{1}{\left(\left(z-z_{1}\right)^2+\left(y-y_{1}\right)^2+x^2\right)^{\frac{3}{2}}}\;dy_{1}}\;dz_{1}}=2\,\pi\]
In [9]:
/* x < 0 の場合 */
facts(x)$
forget(%)$

/* あらためて x < 0 と仮定します。*/
assume(x < 0)$

'integrate(
    'integrate(
      x/(x**2 + (y-y1)**2 + (z-z1)**2)**(3/2), 
      y1, -inf, inf), 
  z1, -inf, inf) =
 integrate(
    integrate(
      x/(x**2 + (y-y1)**2 + (z-z1)**2)**(3/2), 
      y1, -inf, inf), 
  z1, -inf, inf);

X     2             2    2
Is z1  - 2 z z1 + z  + x  zero or nonzero?
\     2             2    2
Is z1  - 2 z z1 + z  + x  zero or nonzero?
nonzero;
Out[9]:
\[\tag{${\it \%o}_{27}$}x\,\int_{-\infty }^{\infty }{\int_{-\infty }^{\infty }{\frac{1}{\left(\left(z-z_{1}\right)^2+\left(y-y_{1}\right)^2+x^2\right)^{\frac{3}{2}}}\;dy_{1}}\;dz_{1}}=-2\,\pi\]

球対称な電荷分布による電場で使った積分

\begin{eqnarray}
\int_0^{\pi} \sin\theta’ d\theta’
\frac{(r-r’\cos\theta’)}{\left\{r^2 + (r’)^2 -2 r r’ \cos\theta’\right\}^{3/2}}
&=& \frac{2\pi}{r^2} \left(\frac{r+r’}{|r+r’|}+\frac{r-r’}{|r-r’|} \right)\\
&=& \left\{
\begin{array}{ll}
\frac{4\pi}{r^2} & (r’ < r)\\ \ \\
0 & (r’ > r)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

の確認。

In [10]:
integrate(
  (r-r1*cos(theta1))*sin(theta1)
   /(r**2 + r1**2 - 2*r*r1*cos(theta1))**(3/2), theta1, 0, %pi);
Out[10]:
\[\tag{${\it \%o}_{28}$}\frac{r_{1}+r}{r^2\,\sqrt{r_{1}^2+2\,r\,r_{1}+r^2}}-\frac{r_{1}-r}{r^2\,\sqrt{r_{1}^2-2\,r\,r_{1}+r^2}}\]