静電ポテンシャルを使った静電場の基本方程式
$$ \nabla^2 \phi = – \frac{\rho}{\varepsilon_0}, \quad \boldsymbol{E} = – \nabla \phi $$
まず，電荷分布 \(\rho(\boldsymbol{r})\) によってつくられる静電ポテンシャルを，ポアソン方程式によって求め，求めた静電ポテンシャルの勾配をとってマイナスをつけると，電場が求まる。
原点においた点電荷がつくる静電ポテンシャル
原点においた点電荷 \(q\) がつくる静電ポテンシャルは，（ポアソン方程式を解かなくても）
$$ \phi = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{1}{r}$$であることがわかる。
なぜかというと，すでに原点においた点電荷がつくる電場 \(\boldsymbol{E}\) は
$$ \boldsymbol{E} =\frac{q}{4\pi \varepsilon_0}\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}$$であることがクーロンの法則からわかっているからだね。
一方，上記の静電ポテンシャルの勾配に負号をつけた量を計算すると
$$- \nabla\phi = – \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \nabla \frac{1}{r} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0}\frac{\boldsymbol{r}}{r^3} = \boldsymbol{E}$$となるから。
具体的に \(\displaystyle \nabla\frac{1}{r}\) の \(x\) 成分を計算すると，
\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{r} &=& \frac{\partial}{\partial x} \left(x^2 + y^2 + z^2 \right)^{-\frac{1}{2}}\\
&=& -\frac{1}{2} \left(x^2 + y^2 + z^2 \right)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2 x \\
&=& – \frac{x}{r^3}
\end{eqnarray}\(y\) 成分，\(z\) 成分も同様に計算できて
$$ \nabla \frac{1}{r} = – \frac{\boldsymbol{r}}{r^3}$$
任意の位置に置いた点電荷がつくる静電ポテンシャル
\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}_1\) においた点電荷 \(q_1\) がつくる静電ポテンシャルは，点電荷までの距離が $r \ \rightarrow \ |\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}_1|$ と変わるので，
$$ \phi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_1}{|\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}_1|}$$
複数個の点電荷がつくる静電ポテンシャル
位置 \(\boldsymbol{r}_i\) にそれぞれおいた複数の点電荷 \(q_i\) （\(i = 1, 2, 3, \dots\)）がつくる静電ポテンシャルは，重ね合わせの原理から
$$\phi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_{i} \frac{q_i}{|\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}_i|}$$
連続的な電荷分布の場合
連続的な電荷分布 \(\rho(\boldsymbol{r})\) の場合は，以下のような置き換えをして
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{r}_i &\rightarrow& \boldsymbol{r}’ \\
q_i &\rightarrow& \rho(\boldsymbol{r}_i ) dV_i \rightarrow\rho(\boldsymbol{r}’ ) dV_i\\
\sum_{i} dV_i&\rightarrow& \iiint \, dV’
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\phi(\boldsymbol{r}) &=& \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_{i} \frac{q_i}{|\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}_i|}\\
&\Downarrow& \\
\phi(\boldsymbol{r}) &=& \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \iiint \frac{\rho(\boldsymbol{r}’)}{|\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}’|} dV’ \\
&=& \frac{1}{4\pi} \iiint \frac{\rho(\boldsymbol{r}’)}{\varepsilon_0}\frac{1}{|\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}’|} dV’
\end{eqnarray}
これが，ポアソン方程式
$$\nabla^2\phi = – \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$の完全な解である。
方程式の形が同じなら解の形も同じ
電磁気学においては，これまでまとめた静電場以外にも（クーロンゲージ条件下での静磁場の場合にも）ポアソン方程式が出てくる。一般にポアソン方程式は
$$\nabla^2 u(\boldsymbol{r}) = – f(\boldsymbol{r})$$の形に書かれるが，方程式の形が同じなら解の形も同じであり，ただちに
$$ u(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi} \iiint \frac{f(\boldsymbol{r}’)}{|\boldsymbol{r} – \boldsymbol{r}’|} dV’$$の形に解ける。これはすぐ後で（静磁場の項で）使うことになりますよ。