静磁場を求める際に使った積分は Maxima を数学公式集として使うことで確認できているが，Maxima で解析的に積分できることがわかれば，人力でも解いてみたくなるもの。でもほとんどは「静電場を求める際に使った積分を人力で求めてみる」シリーズですでにやっている。
直線電流による磁場で使った積分
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\left\{x^2 + y^2 + (z-z’)^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}\,dz’ = \frac{2}{x^2 + y^2}$$
これは「静電場を求める際に使った積分を人力で求めてみる：第1話」で
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(a^2 + Z^2)^{\frac{3}{2}}} dZ = \frac{2}{a^2}$$
となることを説明済み。
ソレノイドを流れる電流による磁場で使った積分
$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{z – z’}{\left((x-x’)^2 + (y-y’)^2 + (z-z’)^2\right)^{3/2}} dz’ =0$$
これは，
\begin{eqnarray}
&& \int_{-\infty}^{\infty}\frac{z – z’}{\left((x-x’)^2 + (y-y’)^2 + (z-z’)^2\right)^{3/2}} dz’ \\
&=& \int_{-\infty}^{\infty}\frac{Z}{\left((x-x’)^2 + (y-y’)^2 + Z^2\right)^{3/2}} dZ
\end{eqnarray}
とすれば，被積分関数は $Z$ について奇関数だから $\displaystyle \int_{-b}^{b} dZ$ はゼロとなることは明らか。
もう一つの積分
\begin{eqnarray}
\int_0^{2\pi} \,d\phi’ \frac{ a^2 – a y\sin\phi’ – a x\cos\phi’ }{x^2 + y^2 + a^2 – 2 a x \cos\phi’ – 2 a y \sin\phi’ } &=& \left\{
\begin{array}{ll}
2\pi & (a > \sqrt{x^2 + y^2})\\
0 & (a < \sqrt{x^2 + y^2})
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
も「静電場を求める際に使った積分を人力で求めてみる：第2話」の「$y\neq 0$ の一般の場合の考察」の項をみれば（$\sqrt{x^2+y^2}$ はそのままにし，$r’ \rightarrow a$ と置き換えて）
\begin{eqnarray}
\int_0^{2\pi} d\phi’\frac{x^2 + y^2 – (x a \cos\phi’ + y a \sin\phi’)}{x^2 + y^2 + a^2 – 2(x a \cos\phi’ + y a \sin\phi’)}
&=& \left\{
\begin{array}{ll}
0 & (a > \sqrt{x^2 + y^2} )\\
2\pi & ( a < \sqrt{x^2 + y^2})
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
となることがわかっているので，
\begin{eqnarray}
&&\int_0^{2\pi} \,d\phi’ \frac{ a^2 – a y\sin\phi’ – a x\cos\phi’ }{x^2 + y^2 + a^2 – 2 a x \cos\phi’ – 2 a y \sin\phi’ } \\
&=& \int_0^{2\pi} \,d\phi’ \left\{ 1 – \frac{x^2 + y^2 – (x a \cos\phi’ + y a \sin\phi’)}{x^2 + y^2 + a^2 – 2(x a \cos\phi’ + y a \sin\phi’)}\right\} \\
&=& 2\pi – \int_0^{2\pi} d\phi’\frac{x^2 + y^2 – (x a \cos\phi’ + y a \sin\phi’)}{x^2 + y^2 + a^2 – 2(x a \cos\phi’ + y a \sin\phi’)} \\
&=& \left\{
\begin{array}{ll}
2 \pi – 0 = 2 \pi & (a > \sqrt{x^2 + y^2} )\\
2 \pi – 2\pi = 0 & ( a < \sqrt{x^2 + y^2})
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
つまり，めでたく
$$\int_0^{2\pi} \,d\phi’ \frac{ a^2 – a y\sin\phi’ – a x\cos\phi’ }{x^2 + y^2 + a^2 – 2 a x \cos\phi’ – 2 a y \sin\phi’ } = \left\{
\begin{array}{ll}
2 \pi & (a > \sqrt{x^2 + y^2} )\\
0 & ( a < \sqrt{x^2 + y^2})
\end{array}
\right.$$
となる。