電磁誘導

時間変動がある場合は，以下の式のように電場と磁場がからみあってくる。

$$\mathrm{\nabla }\times \mathit{E}+\frac{\partial \mathit{B}}{\partial t}=\mathbf{0}$$

磁場 $\mathit{B}$ の項を移項し，両辺を，閉曲線 $C$ で囲まれた面積 $S$ に垂直な成分について面積積分すると，
$${\iint }_S(\mathrm{\nabla }\times \mathit{E})\cdot \mathit{n}dS=-{\iint }_S\frac{\partial \mathit{B}}{\partial t}\cdot \mathit{n}dS$$

左辺はストークスの定理により
$${\iint }_S(\mathrm{\nabla }\times \mathit{E})\cdot \mathit{n}dS={\oint }_C\mathit{E}\cdot d\mathit{r}$$

となり，この量は単位電荷にはたらく力 $\mathit{E}$ の閉曲線 $C$ にそった1周積分であることから，誘導起電力と呼ばれる。

右辺は（閉曲線 $C$ で囲まれた面積 $S$ が時間的に変化しない，大きさも形も向きも変化しないとすると）
$$-{\iint }_S\frac{\partial \mathit{B}}{\partial t}\cdot \mathit{n}dS=-\frac{d}{dt}{\iint }_S\mathit{B}\cdot \mathit{n}dS\equiv -\frac{d\Phi }{dt}$$

ここで
$$\Phi \equiv {\iint }_S\mathit{B}\cdot \mathit{n}dS$$
は，磁束密度 $\mathit{B}$ ベクトルの垂直成分の面積積分であるから，面積 $S$ を貫く磁束になる。

まとめると，

$${\oint }_C\mathit{E}\cdot d\mathit{r}=-\frac{d\Phi }{dt}$$この式は

面積 $S$ を貫く磁束 $\Phi$ が時間的に変化すると，
（マイナスがついているから）それを妨げる向きに誘導起電力が生じる

ということを示していて，この現象を電磁誘導と呼んでいる。

閉曲線 $C$ が導線であるならば，この中には荷電粒子である自由電子がいる。誘導起電力が生じると，回路内に電場が生じることになり，この電場によって電子が力を受けて動き出す。荷電粒子の運動，すなわち電流が流れる。

回路によって囲まれた部分の面積を貫く磁束の時間変化によって回路に電流が流れる。これが発電機の原理になっている。

磁束を変化させるには大きくわけて2つの方法があるだろう。一つは磁場を発生させている磁石を動かすことによって直接 $\mathit{B}$ の大きさの時間変化を作り出すやりかた。もう一つは回路によって囲まれた面の傾きを変えることにより，たとえ $\mathit{B}$ そのものは一定であっても，$\mathit{B}$ と $\mathit{n}$ のなす角，つまりは $\mathit{B}$ の相対的な向きを時間的に変化させるやりかた。

なので，今後，以下の式を見かけたら
$$\mathrm{\nabla }\times \mathit{E}+\frac{\partial \mathit{B}}{\partial t}=\mathbf{0}$$

ありがとうファラデー！　ありがとうマクスウェル！
この式のおかげで，電気が使えています！
スマホもパソコンも
電気があるから，この式があるから
使えてます！

と感謝をするように。