電磁ポテンシャル
\( \nabla\cdot\boldsymbol{B} = 0\) は変わらないので，静磁場のときと同様にベクトルポテンシャルを \(\boldsymbol{B} \equiv \nabla\times\boldsymbol{A}\) のように導入できる。
しかし，
$$\nabla\times\boldsymbol{E} + \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} = \boldsymbol{0}$$
つまり，\(\nabla\times\boldsymbol{E} \neq \boldsymbol{0}\) となってしまうために，静電場のときと全く同じようにしてスカラーポテンシャルを導入することはできない。どうしよう？
こんなときも，慌てず騒がず，\(\boldsymbol{B} = \nabla\times\boldsymbol{A}\) を代入すると，
$$\nabla\times\boldsymbol{E} + \frac{\partial}{\partial t}\left(\nabla\times\boldsymbol{A}\right) = \boldsymbol{0}$$
偏微分は交換可能 \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial t}\nabla = \nabla \frac{\partial}{\partial t}\) であるから
\begin{eqnarray}
\nabla\times\boldsymbol{E} + \nabla\times\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t} &= & \boldsymbol{0}\\
\nabla\times \left(\boldsymbol{E} + \frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t} \right) &= & \boldsymbol{0}\\
\therefore\ \ \boldsymbol{E} + \frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t} &\equiv& -\nabla\phi \\
\therefore\ \ \boldsymbol{E} &=& -\nabla\phi – \frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}
\end{eqnarray}
ゲージ条件
時間変動がない場合は，クーロンゲージ条件 \(\nabla\cdot\boldsymbol{A} = 0\) を課すことで，電磁ポテンシャルがポアソン方程式の形に統一的に書かれ，ただちに完全な解がもとまったが，時間変動がある場合は，クーロンゲージ条件ではなく，別のゲージ条件が便利であることが知られている。
それはローレンツゲージ条件と呼ばれ，以下のように書かれる。
$$\frac{1}{c^2} \frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{A} = 0$$
なぜこのゲージ条件が便利であるかは，この後…
ここまでのまとめ
時間変動をする電磁場の場合は，電場，磁場が電磁ポテンシャルを使って以下のように書かれる。赤色部分が変更箇所。
$$\boldsymbol{E} = -\nabla\phi {\color{red}{- \frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}}}, \quad\boldsymbol{B} = \nabla\times\boldsymbol{A}$$
また，電磁ポテンシャルに対するゲージ条件も，クーロンゲージ条件ではなく，以下のようなローレンツゲージ条件を課すと，いろいろと便利になる。赤色部分が変更箇所。
$${\color{red}{\frac{1}{c^2} \frac{\partial \phi}{\partial t}}} + \nabla\cdot\boldsymbol{A} = 0$$
$\boldsymbol{E}$ と $\boldsymbol{B}$ で表したマクスウェル方程式
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{D} &=& \varepsilon_0 \boldsymbol{E}\\
\boldsymbol{H} &=& \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{B} = \varepsilon_0 c^2 \boldsymbol{B}
\end{eqnarray}
を使って，マクスウェル方程式を$\boldsymbol{E}$ と $\boldsymbol{B}$ で表すと
\begin{eqnarray}
\nabla\cdot \boldsymbol{E} &=& \frac{\rho}{\varepsilon_0} \tag{1}\\
\nabla\cdot\boldsymbol{B} &=& 0 \tag{2}\\
\nabla\times\boldsymbol{E} + \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} &=& \boldsymbol{0} \tag{3}\\
\nabla\times\boldsymbol{B} – \frac{1}{c^2} \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} &=& \frac{\boldsymbol{J}}{\varepsilon_0 c^2} \tag{4}
\end{eqnarray}
$(1)$ 式の $\boldsymbol{E}$ に電磁ポテンシャル表記を代入してローレンツゲージ条件を使うと，
\begin{eqnarray}
\nabla\cdot\boldsymbol{E} &=& \nabla\cdot\left\{ -\nabla\phi – \frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}\right\} \\
&=& -\nabla^2 \phi – \frac{\partial}{\partial t} \nabla\cdot\boldsymbol{A} \\
&=& -\nabla^2 \phi +\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} \\
&=& \frac{\rho}{\varepsilon_0} \\ \ \\
\therefore\ \ \left(\nabla^2 – \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}\right) \phi &=& – \frac{\rho}{\varepsilon_0}
\end{eqnarray}
$(4)$ 式も同様にして
\begin{eqnarray}
\nabla\times\boldsymbol{B} – \frac{1}{c^2} \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}
&=& \nabla\times \left\{\nabla\times \boldsymbol{A}\right\} + \frac{1}{c^2} \left\{ \nabla\frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{\partial^2 \boldsymbol{A}}{\partial t^2} \right\}\\
&=& \nabla (\nabla\cdot\boldsymbol{A}) – \nabla^2 \boldsymbol{A} + \frac{1}{c^2} \left\{ \nabla\frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{\partial^2 \boldsymbol{A}}{\partial t^2} \right\}\\
&=& – \nabla^2 \boldsymbol{A} + \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \boldsymbol{A}}{\partial t^2}
+ \nabla \left(\frac{1}{c^2} \frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{A}\right) \\
&=& – \nabla^2 \boldsymbol{A} + \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \boldsymbol{A}}{\partial t^2} \\
&=& \frac{\boldsymbol{J}}{\varepsilon_0 c^2} \\ \ \\
\therefore\ \ \left(\nabla^2 – \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}\right) \boldsymbol{A} &=& – \frac{\boldsymbol{J}}{\varepsilon_0 c^2}
\end{eqnarray}
ダランベール演算子で表した電磁ポテンシャルの式
ラプラス演算子（Laplace の形容詞形で Laplacian ラプラシアンともいう） $\nabla^2 $ は
$$\nabla^2 = \nabla\cdot\nabla \equiv \triangle$$
とも書くので（ラプラス演算子をギリシア文字のデルタの大文字 $\Delta$ で書くとする記述も散見されるが，その意見には与しない。ラプラス演算子はスカラー演算子だから $\triangle$ と書くべきかと思う），これにインスパイアされてダランベール演算子 $\square$ を以下のように定義すると，
$$\square \equiv \triangle – \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} = \nabla^2 – \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} $$
ローレンツゲージ条件を課した電磁ポテンシャルは，以下の式に従うことがわかる。
\begin{eqnarray}
\square\, \phi &=& – \frac{\rho}{\varepsilon_0}\\
\square\, \boldsymbol{A} &=& – \frac{\boldsymbol{J}}{\varepsilon_0 c^2}
\end{eqnarray}
この式もちゃんと解けるのであるが，その話はまた別の機会に…
ちなみに，上の式で右辺がゼロ（ゼロベクトル）となる式は（速さが $c$ である波をあらわす）「波動方程式」と呼ばれ，あとで出てきます。
d’Alembertian (d’Alembert operator) の読み方
Laplace は「ラプラス」，ラプラス演算子の意味の Laplacian は「ラプラシアン」。
d’Alembert は「ダランベール」（最後の t は発音しない）。ではダランベール演算子の意味の d’Alembertian は「ダランベーリアン」かというとそうではなく，Wikipedia によれば「ダランベルシアン」。
参考：
授業では，悪ノリして以下のような問題も出したりしている。（最後の項目は誤植では？と質問する学生さんもいる。）
問：以下の数学用語等の定義を述べよ。
- ヤコビアン
- ロンスキアン
- シャーロキアン
- ホームジアン
- ラプラシアン
- ダランベーリアン
- ダランベルシアン
- ボヘミアン（ラプソディ）
- ダルメシアン