時間変動しない電磁場のまとめ

これまでのところをまとめておく。

マクスウェル方程式

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathrm{\nabla }\cdot \mathit{D}& =& \rho \text{(2)}& \mathrm{\nabla }\cdot \mathit{B}& =& 0\text{(3)}& \mathrm{\nabla }\times \mathit{E}+\frac{\partial \mathit{B}}{\partial t}& =& \mathbf{0}\text{(4)}& \mathrm{\nabla }\times \mathit{H}–\frac{\partial \mathit{D}}{\partial t}& =& \mathit{J}\end{array}$$

時間変動しない電磁場の場合は赤字の部分が消えて

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathrm{\nabla }\cdot \mathit{D}& =& \rho \text{(2)}& \mathrm{\nabla }\cdot \mathit{B}& =& 0\text{(3a)}& \mathrm{\nabla }\times \mathit{E}& =& \mathbf{0}\text{(4a)}& \mathrm{\nabla }\times \mathit{H}& =& \mathit{J}\end{array}$$

静電場の基本方程式

$\mathit{D}={\epsilon }_0\mathit{E}$ を使って $\mathit{E}$ だけの式にして，$(\text{1})$ 式と $(\text{3a})$ 式は

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0},\mathrm{\nabla }\times \mathit{E}=\mathbf{0}$$

静磁場の基本方程式

$\mathit{H}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathit{B}$ を使って $\mathit{B}$ だけの式にして，$(\text{2})$ 式と $(\text{4a})$ 式は

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{B}=0,\mathrm{\nabla }\times \mathit{B}={\mu }_0\mathit{J}=\frac{\mathit{J}}{{\epsilon }_0{c}^2}$$

${\displaystyle {\epsilon }_0{\mu }_0=\frac{1}{c^2}}$ となる理屈はこのへんにまとめておいた。

電磁ポテンシャル

$$\mathrm{\nabla }\times \mathit{E}=\mathbf{0}\Rightarrow \mathit{E}\equiv –\mathrm{\nabla }\varphi$$

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{B}=0\Rightarrow \mathit{B}\equiv \mathrm{\nabla }\times \mathit{A}$$

というようにスカラーポテンシャル（静電ポテンシャル）$\varphi$ とベクトルポテンシャル $\mathit{A}$ を導入できた。

$\varphi$ と $\mathit{A}$ をまとめて電磁ポテンシャルと呼ぼう。また，今後，静電場（時間変動しない電場）でない場合についても述べるので，一時「静電」ポテンシャルとも呼んでいた $\varphi$ の呼称を「スカラーポテンシャル」に統一する。

ゲージ条件

ベクトルポテンシャル $\mathit{A}$ に対して，クーロンゲージ条件
$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{A}=0$$
を課すと…

ポアソン方程式

電磁ポテンシャルは以下のようなポアソン方程式に従うことがわかり，
$${\mathrm{\nabla }}^2\varphi =–\frac{\rho }{{\epsilon }_0},{\mathrm{\nabla }}^2\mathit{A}=-\frac{\mathit{J}}{{\epsilon }_0{c}^2}$$
ただちに完全な解が以下のように求まるのであった。

$$\begin{array}{rcl}\varphi (\mathit{r})& =& \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\iiint \frac{\rho ({\mathit{r}}^{\prime })}{|\mathit{r}–{\mathit{r}}^{\prime }|}d{V}^{\prime }\end{array}$$

$$\mathit{A}(\mathit{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iiint \frac{\mathit{J}({\mathit{r}}^{\prime })}{|\mathit{r}–{\mathit{r}}^{\prime }|}d{V}^{\prime }$$

電荷密度から直接静電場を求める式

$$\begin{array}{rcl}\mathit{E}(\mathit{r})& =& –\mathrm{\nabla }\varphi (\mathit{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\iiint \frac{\rho ({\mathit{r}}^{\prime })(\mathit{r}–{\mathit{r}}^{\prime })}{|\mathit{r}–{\mathit{r}}^{\prime }{|}^3}d{V}^{\prime }\end{array}$$

この積分が（比較的）簡単にできるいくつかの例を以下にまとめる。

点電荷の電荷密度と電場

位置 ${\mathit{r}}_1$ においた点電荷 $q_1$ の電荷密度は，ディラックのデルタ関数を使って

$$\rho (\mathit{r})=q_1{\delta }^3(\mathit{r}–{\mathit{r}}_1)$$

電場は

$$\mathit{E}=\frac{q_1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\mathit{r}–{\mathit{r}}_1}{|\mathit{r}–{\mathit{r}}_1{|}^3}$$

特に点電荷が原点にある場合は ${\mathit{r}}_1=\mathbf{0}$ とすればいいし，複数の点電荷の場合は重ね合わせの原理から

$$\mathit{E}=\sum _i\frac{q_i}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\mathit{r}–{\mathit{r}}_i}{|\mathit{r}–{\mathit{r}}_i{|}^3}$$

電気双極子による電場

電気双極子とは正電荷 $q$ と負電荷 $-q$ が微小距離 $\mathit{d}$ で対になっている状態。電気双極モーメント $\mathit{p}\equiv q\mathit{d}$ による遠方の電場は

$$\mathit{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\left\{3\frac{\mathit{r}\cdot \mathit{p}}{r^5}\mathit{r}–\frac{\mathit{p}}{r^3}\right\}$$

軸対称な電荷分布による電場

$z$ 軸について軸対称な電荷分布を表す電荷密度は

$$\rho (\mathit{r})=\rho (\varrho ),\mathit{\varrho }\equiv (x,y,0),\varrho \equiv \sqrt{x^2+y^2}$$

電場は

$$\mathit{E}=\frac{Q_{\varrho }}{2\pi {\epsilon }_0}\frac{\mathit{\varrho }}{{\varrho }^2}$$

ここで $Q_{\varrho }$ は，$z$ 軸を中心とし，底面積が $\pi {\varrho }^2$ の単位高さの円柱内の全電荷である。特に $z$ 軸上の一様な線電荷密度 $\lambda$ の場合は，$Q_{\varrho }\to \lambda$ とすればよい。

面対称な電荷分布による電場

$x=0$ の $yz$ 平面について面対称な電荷分布を表す電荷密度は

$$\rho (\mathit{r})=\rho (|x|)$$

電場は

$$E_x=\frac{Q_{|x|}}{2{ϵ}_0}\frac{x}{|x|},E_y=E_z=0$$

$Q_{|x|}$ は $yz$ 面が単位面積，$x$ 方向が $-x$ から $x$ までの直方体内の全電荷。特に，$yz$ 面上の一様面電荷密度 $\sigma$ の場合は，$Q_{|x|}\to \sigma$ とすればよい。

球対称な電荷分布による電場

原点を中心とした球対称な電荷分布を表す電荷密度は

$$\rho (\mathit{r})=\rho (r),r\equiv \sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

電場は

$$\mathit{E}=\frac{Q_r}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\mathit{r}}{r^3}$$

$Q_r$ は原点を中心とする半径 $r$ の球内の全電荷。球対称な電荷分布の場合は，この $Q_r$ をもつ点電荷を原点においたときの電場と等価であることがわかるのであった。

電流密度から直接静磁場を求める式：ビオ – サバールの法則

$$\begin{array}{rcl}\mathit{B}(\mathit{r})=\mathrm{\nabla }\times \mathit{A}(\mathit{r})& =& \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iiint \frac{\mathit{J}({\mathit{r}}^{\prime })\times (\mathit{r}–{\mathit{r}}^{\prime })}{|\mathit{r}–{\mathit{r}}^{\prime }{|}^3}d{V}^{\prime }\end{array}$$

この積分が（比較的）簡単にできるいくつかの例を以下にまとめる。

直線電流による磁場

$z$ 軸上の直線電流 $\mathit{I}=(0,0,I)$ を表す電流密度 $\mathit{J}$ はディラックのデルタ関数を使って

$$\mathit{J}=(0,0,J_z)=\mathit{I}\delta (x)\delta (y)$$

磁場は

$$\begin{array}{rcl}\mathit{B}& =& \frac{1}{2\pi {\epsilon }_0{c}^2}\frac{\mathit{I}\times \mathit{\varrho }}{{\varrho }^2}\end{array},\mathit{\varrho }=(x,y,0),\varrho =\sqrt{x^2+y^2}$$

円電流による磁場

$xy$ 平面上の原点を中心とした半径 $a$ の円周上を流れる電流 $I$ を表す電流密度は

$$\begin{array}{rcl}\mathit{J}& =& (J_x,J_y,0)\\ & =& (-I\sin \varphi ,I\cos \varphi ,0)\times \delta (\varrho -a)\delta (z)\end{array}$$

ビオ・サバールの法則に入れて磁場を求めるが，一般に積分ができるわけではなく，あえて書くと $z$ 軸上 $\mathit{r}=(0,0,z)$ の磁場は簡単に積分できて以下のようになる。

$$\begin{array}{rcl}{B}_x(0,0,z)& =& 0\\ B_y(0,0,z)& =& 0\\ B_z(0,0,z)& =& \frac{I{a}^2}{2{\epsilon }_0{c}^2{\{z^2+a^2\}}^{\frac{3}{2}}}\end{array}$$

微小な円電流・磁気双極子による磁場

微小な円電流がつくる遠方の磁場は

$$a^2\ll r^2=x^2+y^2+z^2$$

とすると，磁気双極モーメント $\mathit{\mu }\equiv (0,0,I\pi a^2)$ を持つ磁気双極子がつくる磁場となり，

$$\mathit{B}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\left\{3\frac{\mathit{r}\cdot \mathit{\mu }}{r^5}\mathit{r}–\frac{\mathit{\mu }}{r^3}\right\}$$

ソレノイドを流れる電流による磁場

$z$ 軸を中心とし，半径 $a$ で $z$ 方向に単位長さあたり $n$ 回巻きの十分に長いソレノイドを電流 $I$ が流れる。これを表す電流密度は（ほんとは螺旋状に巻いてあるところを，円電流を$z$ 方向に単位長さあたり $n$ 個重ねて表すことにして）

$$\begin{array}{rcl}\mathit{J}& =& (J_x,J_y,0)\\ & =& (-nI\sin \varphi ,nI\cos \varphi ,0)\times \delta (\sqrt{x^2+y^2}-a)\end{array}$$

磁場は

$$B_x=B_y=0,B_z=\{\begin{array}{ll}\frac{nI}{{\epsilon }_0{c}^2}& (\sqrt{x^2+y^2}<a)\\ \\ 0& (\sqrt{x^2+y^2}>a)\end{array}$$

ソレノイドの外部 $\sqrt{x^2+y^2}>a$ では $B_z$  も含めて $\mathit{B}=\mathbf{0}$，ソレノイドの内部 $\sqrt{x^2+y^2}<a$ では，ソレノイドに沿って一定の大きさの $B_z$ のみが存在する。