一様な静磁場中の荷電粒子の運動

電場はないとして $E = 0$ ，磁場によるローレンツ力を受けた荷電粒子の運動方程式は，

$m \frac{d v}{d t} = q v \times B$

両辺に $v$ の内積をかけて

$\begin{array}{rcl} m v \cdot \frac{d v}{d t} & = & q v \cdot (v \times B) \\ = & q B \cdot (v \times v) \\ = & 0 \\ ∴ \frac{d}{d t} (\frac{1}{2} m v \cdot v) & = & 0 \\ ∴ \frac{1}{2} m v \cdot v & = & const. \equiv E \end{array}$

一様な静磁場の向きを表す単位ベクトル

$n \equiv \frac{B}{\sqrt{B \cdot B}} = \frac{B}{B}, \frac{d n}{d t} = 0$

を使って速度ベクトル $v$ を $n$ に平行なパート $v_{/ /}$ と垂直なパート $v_{⊥}$ に分解する。

$\begin{array}{rcl} v_{/ /} & \equiv & (v \cdot n) n \\ v_{⊥} & \equiv & v - v_{/ /} \end{array}$

運動方程式に $n$ の内積をかけて

$\begin{array}{rcl} n \cdot \frac{d v}{d t} & = & \frac{q}{m} n \cdot (v \times B) \\ = & \frac{q}{m B} v \cdot (B \times B) \\ = & 0 \\ ∴ \frac{d}{d t} (v \cdot n) & = & 0 \\ ∴ v_{/ /} & = & const. \equiv V_{/ /} \\ ∴ r_{/ /} & = & \int^{t} v_{/ /} d t = V_{/ /} t \end{array}$

ここで，簡単のために初期条件を $t = 0$ で $r_{/ /} = 0$ とした。

速度ベクトル $v$ の $n$ に平行なパート $v_{/ /}$ は定ベクトルであることがわかった。

次に， $\frac{d v_{/ /}}{d t} = 0$ を使うと，運動方程式は

$\begin{array}{rcl} \frac{d v_{⊥}}{d t} & = & \frac{q}{m} v_{⊥} \times B \\ \frac{d^{2} v_{⊥}}{d t^{2}} & = & \frac{q}{m} \frac{d v_{⊥}}{d t} \times B \\ = & {(\frac{q}{m})}^{2} (v_{⊥} \times B) \times B \\ = & - {(\frac{q}{m})}^{2} {(B \cdot B) v_{⊥} - (B \cdot v_{⊥}) B} \\ = & - {(\frac{q B}{m})}^{2} v_{⊥} \\ ∴ v_{⊥} & = & A \cos ω t + B \sin ω t, ω \equiv \frac{q B}{m} \\ ∴ r_{⊥} & = & \int^{t} v_{⊥} d t = \frac{A}{ω} \sin ω t - \frac{B}{ω} \cos ω t \end{array}$

初期条件を $t = 0$ で $r_{⊥} = R_{⊥}, v_{⊥} = V_{⊥}$ とすると，

$\begin{array}{rcl} v_{⊥} & = & V_{⊥} \cos ω t - ω R_{⊥} \sin ω t \\ r_{⊥} & = & \frac{V_{⊥}}{ω} \sin ω t + R_{⊥} \cos ω t \end{array}$

となるが，運動エネルギーが一定であることから $v_{⊥} \cdot v_{⊥}$ も一定であることになり，

$| V_{⊥} | = ω | R_{⊥} |, V_{⊥} \cdot R_{⊥} = 0$

であることもわかる。なぜかというと，

$\begin{array}{rcl} v_{⊥} \cdot v_{⊥} & = & V_{⊥} \cdot V_{⊥} \cos^{2} ω t \\ + ω^{2} R_{⊥} \cdot R_{⊥} \sin^{2} ω t \\ - 2 ω V_{⊥} \cdot R_{⊥} \sin ω t \cos ω t \end{array}$

はいつでも一定であるので，

$\begin{array}{rcl} v_{⊥} \cdot v_{⊥} & = & V_{⊥} \cdot V_{⊥} for t = 0 \\ = & ω^{2} R_{⊥} \cdot R_{⊥} for ω t = \frac{π}{2} \\ = & \frac{1}{2} V_{⊥} \cdot V_{⊥} + \frac{1}{2} ω^{2} R_{⊥} \cdot R_{⊥} - ω V_{⊥} \cdot R_{⊥} for ω t = \frac{π}{4} \end{array}$

となるから。

最終的に $B$ の向きを $z$ 軸にとり，

$\begin{array}{rcl} V_{/ /} & = & (0, 0, V_{/ /}) \\ V_{⊥} & = & (0, V_{⊥}, 0) \\ R_{⊥} & = & (\frac{V_{⊥}}{ω}, 0, 0) \\ r_{/ /} & = & (0, 0, z) \\ r_{⊥} & = & (x, y, 0) \end{array}$

とすれば，

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{V_{⊥}}{ω} \cos ω t \\ y & = & \frac{V_{⊥}}{ω} \sin ω t \\ z & = & V_{/ /} t \end{array}$

一様な静磁場中では，荷電粒子はらせん軌道を描いて運動することがわかる。

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