電場はないとして $\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}$，磁場によるローレンツ力を受けた荷電粒子の運動方程式は，
$$m \frac{d\boldsymbol{v}}{dt} = q\,\boldsymbol{v}\times \boldsymbol{B}$$
両辺に $\boldsymbol{v}$ の内積をかけて
\begin{eqnarray}
m \boldsymbol{v}\cdot\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}
&=& q\,\boldsymbol{v}\cdot\left(\boldsymbol{v}\times \boldsymbol{B}\right) \\
&=& q \boldsymbol{B}\cdot\left(\boldsymbol{v}\times \boldsymbol{v}\right) \\
&=& 0 \\
\therefore\ \ \frac{d}{dt} \left(\frac{1}{2} m \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v} \right) &=& 0 \\
\therefore\ \ \frac{1}{2} m \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v} &=& \mbox{const.} \equiv E
\end{eqnarray}
一様な静磁場の向きを表す単位ベクトル
$$\displaystyle \boldsymbol{n} \equiv \frac{\boldsymbol{B}}{\sqrt{\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{B}}}=\frac{\boldsymbol{B}}{B}, \quad \frac{d\boldsymbol{n} }{dt} = \boldsymbol{0} $$
を使って速度ベクトル $\boldsymbol{v}$ を $\boldsymbol{n}$ に平行なパート $\boldsymbol{v}_{\scriptscriptstyle//}$ と垂直なパート $\boldsymbol{v}_{\perp }$ に分解する。
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{v}_{\scriptscriptstyle//} &\equiv& \left(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n} \right)\,\boldsymbol{n} \\
\boldsymbol{v}_{\perp }&\equiv& \boldsymbol{v} -\boldsymbol{v}_{\scriptscriptstyle//}
\end{eqnarray}
運動方程式に $\boldsymbol{n}$ の内積をかけて
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{n}\cdot \frac{d\boldsymbol{v}}{dt}
&=& \frac{q}{m} \boldsymbol{n}\cdot \left( \boldsymbol{v}\times \boldsymbol{B}\right) \\
&=& \frac{q}{m B} \boldsymbol{v}\cdot \left( \boldsymbol{B}\times \boldsymbol{B}\right) \\
&=& 0 \\
\therefore\ \ \frac{d}{dt} \left(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n} \right) &=& 0 \\
\therefore\ \ \boldsymbol{v}_{\scriptscriptstyle//} &=& \mbox{const.} \equiv \boldsymbol{V}_{\scriptscriptstyle//} \\
\therefore\ \ \boldsymbol{r}_{\scriptscriptstyle//} &=& \int^t \boldsymbol{v}_{\scriptscriptstyle//}\, dt = \boldsymbol{V}_{\scriptscriptstyle//} \,t
\end{eqnarray}
ここで，簡単のために初期条件を $t=0$ で $\boldsymbol{r}_{\scriptscriptstyle//} = \boldsymbol{0}$ とした。
速度ベクトル $\boldsymbol{v}$ の $\boldsymbol{n}$ に平行なパート $\boldsymbol{v}_{\scriptscriptstyle//}$ は定ベクトルであることがわかった。
次に，$\displaystyle \frac{d\boldsymbol{v}_{\scriptscriptstyle//}}{dt} = \boldsymbol{0}$ を使うと，運動方程式は
\begin{eqnarray}
\frac{d\boldsymbol{v}_{\perp}}{dt} &=& \frac{q}{m}\,\boldsymbol{v}_{\perp}\times \boldsymbol{B} \\
\frac{d^2\boldsymbol{v}_{\perp}}{dt^2}
&=&\frac{q}{m}\,\frac{d\boldsymbol{v}_{\perp}}{dt}\times \boldsymbol{B} \\
&=& \left(\frac{q}{m} \right)^2 \left( \boldsymbol{v}_{\perp}\times\boldsymbol{B}\right)\times\boldsymbol{B} \\
&=& -\left(\frac{q}{m} \right)^2 \left\{\left(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{B} \right) \boldsymbol{v}_{\perp} – \left(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{v}_{\perp}\right) \boldsymbol{B} \right\} \\
&=& -\left(\frac{q B}{m} \right)^2 \boldsymbol{v}_{\perp} \\
\therefore\ \ \boldsymbol{v}_{\perp} &=& \boldsymbol{A} \cos \omega t + \boldsymbol{B} \sin \omega t, \quad \omega \equiv \frac{q B}{m} \\
\therefore\ \ \boldsymbol{r}_{\perp} &=& \int^t \boldsymbol{v}_{\perp} \, dt = \frac{ \boldsymbol{A}}{\omega} \sin \omega t -\frac{ \boldsymbol{B} }{\omega}\cos \omega t
\end{eqnarray}
初期条件を $t=0$ で $\boldsymbol{r}_{\perp} = \boldsymbol{R}_{\perp}, \boldsymbol{v}_{\perp} = \boldsymbol{V}_{\perp}$ とすると，
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{v}_{\perp} &=& \boldsymbol{V}_{\perp}\cos \omega t -\omega\boldsymbol{R}_{\perp}\sin \omega t\\
\boldsymbol{r}_{\perp} &=& \frac{ \boldsymbol{V}_{\perp}}{\omega} \sin \omega t +\boldsymbol{R}_{\perp}\cos \omega t
\end{eqnarray}
となるが，運動エネルギーが一定であることから $\boldsymbol{v}_{\perp}\cdot\boldsymbol{v}_{\perp}$ も一定であることになり，
$$ |\boldsymbol{V}_{\perp}| =\omega |\boldsymbol{R}_{\perp}|, \quad\boldsymbol{V}_{\perp}\cdot\boldsymbol{R}_{\perp} =0$$
であることもわかる。なぜかというと，
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{v}_{\perp}\cdot\boldsymbol{v}_{\perp} &=&
\boldsymbol{V}_{\perp}\cdot \boldsymbol{V}_{\perp} \cos^2 \omega\,t \\
&&+
\omega^2 \boldsymbol{R}_{\perp}\cdot\boldsymbol{R}_{\perp} \sin^2 \omega\,t \\
&& -2 \omega \boldsymbol{V}_{\perp}\cdot\boldsymbol{R}_{\perp} \sin\omega\,t \ \cos\omega \, t
\end{eqnarray}
はいつでも一定であるので，
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{v}_{\perp}\cdot\boldsymbol{v}_{\perp} &=&
\boldsymbol{V}_{\perp}\cdot \boldsymbol{V}_{\perp}\quad\mbox{for} \ \ t=0 \\
&=& \omega^2 \boldsymbol{R}_{\perp}\cdot\boldsymbol{R}_{\perp} \quad\mbox{for} \ \ \omega\,t=\frac{\pi}{2} \\
&=&\frac{1}{2} \boldsymbol{V}_{\perp}\cdot \boldsymbol{V}_{\perp} +
\frac{1}{2}\omega^2 \boldsymbol{R}_{\perp}\cdot\boldsymbol{R}_{\perp} – \omega \boldsymbol{V}_{\perp}\cdot\boldsymbol{R}_{\perp}\quad\mbox{for} \ \ \omega\,t=\frac{\pi}{4}
\end{eqnarray}
となるから。
最終的に $\boldsymbol{B}$ の向きを $z$ 軸にとり，
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{V}_{\scriptscriptstyle//} &=& (0, 0, V_{\scriptscriptstyle//}) \\
\boldsymbol{V}_{\perp} &=& (0, V_{\perp}, 0) \\
\boldsymbol{R}_{\perp} &=& \left(\frac{V_{\perp}}{\omega}, 0, 0\right)\\
\boldsymbol{r}_{\scriptscriptstyle//} &=& (0, 0, z) \\
\boldsymbol{r}_{\perp} &=& (x, y, 0)
\end{eqnarray}
とすれば，
\begin{eqnarray}
x &=& \frac{V_{\perp}}{\omega} \cos \omega\, t \\
y &=& \frac{V_{\perp}}{\omega} \sin \omega\, t \\
z &=& V_{\scriptscriptstyle//} \, t
\end{eqnarray}
一様な静磁場中では，荷電粒子はらせん軌道を描いて運動することがわかる。
