スカラー場・ベクトル場の微分

偏微分：多変数関数の微分

ベクトル解析（ベクトルの微分）に向けて，多変数関数の微分である偏微分についてまとめておきます。

（1編数関数の「普通の」）微分のまとめ

高校で習った「微分」は1変数関数 \(f(x)\) に対する微分：
$$\frac{df}{dx} \equiv \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h) – f(x)}{h}$$

我々の住む世界は3次元空間であり，（デカルト座標系をとると） \(x, y, z\) の3つの空間座標（変数）で記述される。また，一般に物理量は時間とともに変化するから，時間座標 \(t\) にも依存する。つまり，我々が電磁気学で扱う量は \(f(x, y, z, t)\) のように一般的には4つの変数に依存する多変数関数である。多変数関数の微分として「偏微分」がある。

偏微分：多変数関数の微分

電磁気学で扱う物理量は，最も一般には3次元空間の座標 \(x, y, z\) および時間 \(t\) の4つの変数に依存した多変数関数である。多変数関数 \(f(x, y, z, t)\) を微分するとき，例えば \(x\) 以外の変数をあたかも定数とみなして変化させず，\(x\) についてのみ微小変化させるとき，\(x\) で「偏微分する」と言い，以下のように書く。

$$ \frac{\partial f}{\partial x} \equiv \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h, y, z, t) – f(x, y, z, t)}{h} $$

他の変数についても同様で，$$\frac{\partial f}{\partial y}, \  \frac{\partial f}{\partial z}, \ \frac{\partial f}{\partial t}$$

\( \partial \) の読み方については，資料を確認すること。コンピュータの日本語 IME（かなを漢字等に変換するプログラム）では「でる」と打って変換すると「∂」が選択できる。

偏微分の初歩

たとえば，\(C\) を定数とした1変数関数 \(f(x) = C x^2\) を \(x\) で微分すると
$$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} (C x^2) = C \frac{d}{dx} x^2 = 2 C x$$ であった。

2変数関数 \(f(x, y) = (y^3 + 2y) x^2 \) を \(x\) で偏微分するとはどういうことかというと，\(x\) 以外の変数（ここでは \(y\)）をあたかも定数のようにみなして微分するということだから
$$\frac{\partial}{\partial x} f(x, y) = \frac{\partial}{\partial x}\left\{ (y^3 + 2y) x^2\right\} = (y^3 + 2y) \frac{\partial}{\partial x} x^2 = 2 (y^3 + 2y) x$$
最後の部分では，\(x^2\) を\(x\) で偏微分しているが，\(x^2\) は1変数関数なので
$$\frac{\partial}{\partial x} x^2 = \frac{d}{dx} x^2 = 2x$$ である。

高階の偏微分

1変数関数 \(y = f(x)\) の高階微分（2階微分，3階微分, …）は以下のように書くのであった。
$$\frac{d^2 y}{dx^2}, \  \frac{d^2}{dx^2}f(x), \  \frac{d^2 y}{dx^3}, \  \frac{d^3}{dx^3} f(x), \dots$$

高階（例えば2階）の偏微分の書き方は…

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \ \frac{\partial^2}{\partial x^2} f, \  \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, \ \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} f, \dots$$

高階の偏微分の重要な性質

偏微分は交換可能です。

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}, \dots$$ \(x, y\) についてだけでなく，他の変数による偏微分についても同様です。

スカラー場やベクトル場の微分

「場（ば）」とは

ある量 \(X\) の値が空間内の各点 \(\boldsymbol{r}\) の関数として一義的に決まるとき，\(X\) は場であるといい，\( X(\boldsymbol{r})\) と書く。一般的には時間の関数でもあるだろうから \( X(\boldsymbol{r}, t) \) と書いて（特に時間変動する）場という。

電磁気学でいう「電場」や「磁場」とは，荷電粒子が受ける電気的力や磁気的力が場所（空間座標）の関数である（より一般的には時間的にも変動するので時間座標の関数でもある）ということ。なお工学系の教科書や高校の教科書では「電場」や「磁場」のかわりに「電界」「磁界」と書いている場合もある。「場」も「界」も「field」の訳である，確か。

スカラー場

スカラー量 \(\varphi\) が空間座標 \(\boldsymbol{r} = (x, y, z)\) の関数として与えられているとき，\(\varphi(\boldsymbol{r})\) をスカラー場という。

ベクトル場

ベクトル量 \(\boldsymbol{a}\) が空間座標 \(\boldsymbol{r}\) の関数として与えられているとき，\(\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})\) をベクトル場という。

ナブラ：ベクトル微分演算子

「場」の量を微分する演算子として「ナブラ」\(\nabla\) と呼ばれるベクトル微分演算子を定義する。
$$\nabla \equiv \boldsymbol{i}\frac{\partial}{\partial x} + \boldsymbol{j}\frac{\partial}{\partial y} +\boldsymbol{k}\frac{\partial}{\partial z} $$

ナブラ \(\nabla \) そのものはベクトルではない。スカラー場やベクトル場に作用して初めて値を持つという意味で「演算子」。

以下で定義するベクトルの発散や回転は，あたかもベクトル同士の内積や外積のように覚えておけばいいので，そのためにナブラの少し簡易的な表記も書いておこう。
$$\nabla = \boldsymbol{i}\,\partial_x+ \boldsymbol{j}\,\partial _y+\boldsymbol{k}\,\partial_z $$ つまり，
$$\partial_x = \frac{\partial}{\partial x}, \ \  \partial_y = \frac{\partial}{\partial y}, \ \ \partial_z = \frac{\partial}{\partial z}$$

\( \partial_x, \partial_y, \partial_z \) の表記は大学初級のテキストではあまり見られないかもしれないが，偏微分の省スペースな表記法として（私の研究分野では，よく）使われる。

スカラー場の勾配 grad

スカラー場 \(\varphi(\boldsymbol{r})\) にナブラ \(\nabla\) を作用させると以下のようなベクトル場になる。これをスカラー場の勾配 (gradient) と呼ぶ。

$$\nabla \varphi = \boldsymbol{i}\partial_x\varphi + \boldsymbol{j}\partial _y\varphi+\boldsymbol{k}\partial_z\varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x} \,\boldsymbol{i} + \frac{\partial \varphi}{\partial y} \,\boldsymbol{j} +\frac{\partial \varphi}{\partial z} \,\boldsymbol{k}$$

勾配の計算例

\( r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \) のとき，例えば以下の計算をしてみよう。

$$\nabla r = \frac{\partial r}{\partial x} \,\boldsymbol{i} + \frac{\partial r}{\partial y} \,\boldsymbol{j} + \frac{\partial r}{\partial z} \,\boldsymbol{k}$$ まずは \(x\) 成分の計算：
\begin{eqnarray}
\frac{\partial r}{\partial x}&=& \frac{\partial }{\partial x} \left(x^2 + y^2 + z^2\right)^{\frac{1}{2}} \\
&=& \frac{1}{2} \left(x^2 + y^2 + z^2\right)^{-\frac{1}{2}} \frac{\partial }{\partial x} \left(x^2 + y^2 + z^2\right) \\
&=& \frac{1}{2} \left(x^2 + y^2 + z^2\right)^{-\frac{1}{2}}\ 2 x \\
&=& \frac{x}{r}
\end{eqnarray} 同様にして
$$\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r}, \quad \frac{\partial r}{\partial z} = \frac{z}{r} $$ したがって
$$\nabla r =\frac{x}{r} \,\boldsymbol{i} + \frac{y}{r} \,\boldsymbol{j} + \frac{z}{r} \,\boldsymbol{k} = \frac{\boldsymbol{r}}{r}$$

また，電磁気学では以下のような計算をする必要も出てくるので，ここでやっておこう。

\begin{eqnarray}
\nabla \left(\frac{1}{r}\right) &=& \boldsymbol{i} \frac{\partial}{\partial x}\frac{1}{r} + \boldsymbol{j} \frac{\partial}{\partial y}\frac{1}{r} + \boldsymbol{k} \frac{\partial}{\partial z}\frac{1}{r} \\
&=& – \frac{1}{r^2} \frac{\partial r}{\partial x} \,\boldsymbol{i}  -\frac{1}{r^2} \frac{\partial r}{\partial y} \,\boldsymbol{j}  -\frac{1}{r^2} \frac{\partial r}{\partial z} \,\boldsymbol{k} \\
&=& – \frac{1}{r^2} \left( \frac{\partial r}{\partial x} \,\boldsymbol{i} + \frac{\partial r}{\partial y} \,\boldsymbol{j} + \frac{\partial r}{\partial z} \,\boldsymbol{k}\right) \\
&=& – \frac{1}{r^2} \nabla r = -\frac{1}{r^2} \frac{\boldsymbol{r}}{r} \\
&=&  – \frac{\boldsymbol{r}}{r^3}
\end{eqnarray} つまり，$$\nabla r^{-1} =   – \frac{\boldsymbol{r}}{r^3} $$ じゃあ，ゼロでない任意の整数 \(n\) について \(\nabla r^{n} \) の計算もできますよね。

ベクトル場の発散 div

ベクトル場 \(\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})\) にナブラ \(\nabla\) を左から「内積のように」作用させると以下のようなスカラー場になる。これをベクトル場の発散 (divergence) と呼ぶ。
$$ \nabla\cdot\boldsymbol{a} =\partial_x a_x + \partial_y a_y + \partial_z a_z =  \frac{\partial a_x}{\partial x} + \frac{\partial a_y}{\partial y} + \frac{\partial a_z}{\partial z}$$

発散の計算例

\( \boldsymbol{r} = (x, y, z) \) のとき
$$\nabla\cdot \boldsymbol{r} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} +\frac{\partial z}{\partial z} = 1+1+1 = 3$$ （答えは空間の次元の数）

ベクトル場の回転 rot または curl

ベクトル場 \(\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})\) にナブラ \(\nabla\) を左から「外積のように」作用させると以下のようなベクトル場になる。これをベクトル場の回転 (rotation) と呼ぶ。
\begin{eqnarray}
\nabla\times\boldsymbol{a} &=& \left(  \partial_y a_z -\partial_z a_y\right) \boldsymbol{i} + \left(  \partial_z a_x -\partial_x a_z\right) \boldsymbol{j} +\left(  \partial_x a_y -\partial_y a_x\right) \boldsymbol{k} \\
&=&\left(  \frac{\partial}{\partial y} a_z -\frac{\partial}{\partial z} a_y\right) \boldsymbol{i} + \left(  \frac{\partial}{\partial z} a_x -\frac{\partial}{\partial x} a_z\right) \boldsymbol{j} +\left(  \frac{\partial}{\partial x} a_y -\frac{\partial}{\partial yz} a_x\right) \boldsymbol{k}
\end{eqnarray}

回転の計算例

$$\nabla\times \left(\frac{\boldsymbol{r}}{r}\right)$$ ここで，\(\boldsymbol{r} = (x, y, z), \ r = |\boldsymbol{r}| \)

まず \(x\) 成分を計算すると，

\begin{eqnarray}
\left(\nabla\times \left(\frac{\boldsymbol{r}}{r}\right)\right)_x &=& \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{z}{r}\right) -\frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{y}{r}\right) \\
&=& z \frac{\partial}{\partial y} \left(x^2+y^2+z^2\right)^{-\frac{1}{2}} -y \frac{\partial}{\partial z} \left(x^2+y^2+z^2\right)^{-\frac{1}{2}} \\
&=& z \left( – \frac{y}{r^3} \right) -y \left( – \frac{z}{r^3} \right) \\
&=& 0
\end{eqnarray} 他の成分も同様に…

スカラー場やベクトル場の2階微分と恒等式

スカラー場やベクトル場にベクトル微分演算子「ナブラ」\(\nabla\) が2階作用するいくつかの場合についてまとめる。いくつかの可能な組み合わせとしては

• $\nabla\cdot(\nabla \varphi)$
• $\nabla\times (\nabla \varphi)$
• $\nabla (\nabla\cdot \boldsymbol{a})$
• $\nabla\cdot (\nabla\times \boldsymbol{a})$
• $\nabla\times (\nabla\times \boldsymbol{a})$
• $(\nabla\cdot\nabla) \boldsymbol{a}$, etc…

勾配の発散

スカラー場 \(\varphi\) の勾配 \(\nabla \varphi\) の発散 \(\nabla\cdot(\nabla \varphi) \)

\begin{eqnarray}
\nabla\cdot(\nabla \varphi) &=&
\left(\boldsymbol{i}\frac{\partial}{\partial x} + \boldsymbol{j}\frac{\partial}{\partial y} + \boldsymbol{k}\frac{\partial}{\partial z}\right) \cdot
\left(\frac{\partial \varphi }{\partial x} \boldsymbol{i} + \frac{\partial \varphi}{\partial y} \boldsymbol{j} + \frac{\partial \varphi}{\partial z} \boldsymbol{k}\right)\\
&=& \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} \\
&=& \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right) \varphi \\
&\equiv& \nabla^2\varphi
\end{eqnarray} ここで
\[ \nabla^2 \equiv \nabla\cdot\nabla =\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right) \] は特にラプラス演算子（ラプラシアン）と呼ばれるスカラー（2階）微分演算子。

つまり，スカラー場の勾配の発散は，スカラー場にラプラス演算子と呼ばれるスカラー微分演算子を作用させることであり，結果はスカラーになる。

勾配の回転

スカラー場 \(\varphi\) の勾配 \(\nabla \varphi\) の回転 \(\nabla\times(\nabla \varphi) \)。まず \(x\) 成分を計算してみる。

\begin{eqnarray}
\left\{\nabla\times(\nabla\varphi) \right\}_x &=& \partial_y (\partial_z \varphi) -\partial_z (\partial_y \varphi) \\
&=& \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y \partial z} -\frac{\partial^2 \varphi}{\partial z \partial y} = 0
\end{eqnarray} 偏微分は交換可能だったから。\(y, z\) 成分についても同様。ゆえに，

$$\nabla\times(\nabla \varphi) = \boldsymbol{0}$$ 任意のスカラー場の勾配の回転は，恒等的にゼロ・ベクトルである。

この恒等式は，電磁気学の中でよく使われる。特に，この恒等式を逆手にとって，何かベクトルがあって，そのベクトルの回転がゼロ・ベクトルになるのであれば，そのベクトルは必ず，あるスカラー場の勾配として書ける。これ使いますから，覚えておいて。

回転の発散

ベクトル場 \(\boldsymbol{a}\) の回転 \(\nabla \times\boldsymbol{a} \) の発散 \(\nabla\cdot(\nabla \times\boldsymbol{a}) \)。

\begin{eqnarray}
\nabla\cdot(\nabla \times\boldsymbol{a}) &=&
\partial_x (\nabla \times\boldsymbol{a})_x + \partial_y (\nabla \times\boldsymbol{a})_y + \partial_z (\nabla \times\boldsymbol{a})_z \\
&=&\partial_x (\partial_y {\color{red}{a_z}} -\partial_z {\color{blue}{a_y}}) + \partial_y (\partial_z {\color{green}{a_x}} -\partial_x {\color{red}{a_z}}) +
\partial_z (\partial_x {\color{blue}{a_y}} -\partial_y{\color{green}{a_x}}) \\
&=&(\partial_y\partial_z -\partial_z\partial_y){\color{green}{a_x}} + (\partial_z\partial_x -\partial_x\partial_z){\color{blue}{a_y}} + (\partial_x\partial_y -\partial_y\partial_x){\color{red}{a_z}} \\
&=& \frac{\partial^2 {\color{green}{a_x}}}{\partial y \partial z} -\frac{\partial^2 {\color{green}{a_x}}}{\partial z \partial y} + \frac{\partial^2 {\color{blue}{a_y}}}{\partial z \partial x} -\frac{\partial^2 {\color{blue}{a_y}}}{\partial x \partial z} + \frac{\partial^2 {\color{red}{a_z}}}{\partial x \partial y} -\frac{\partial^2 {\color{red}{a_z}}}{\partial y \partial x}\\
&=& 0 \end{eqnarray}

ふたたび，偏微分は交換可能だったから。というわけで，任意のベクトル場の回転の発散は恒等的にゼロである。

この恒等式は，電磁気学の中でよく使われる。特に，この恒等式を逆手にとって，何かベクトルがあって，そのベクトルの発散がゼロになるのであれば，そのベクトルは必ず，あるベクトル場の回転として書ける。これ使いますから，覚えておいて。

回転の回転

ベクトル場 \(\boldsymbol{a}\) の回転 \(\nabla \times\boldsymbol{a} \) の回転 \(\nabla\times(\nabla \times\boldsymbol{a}) \)。まず \(x\) 成分を計算してみる。

\begin{eqnarray}
\left\{ \nabla\times(\nabla \times\boldsymbol{a}) \right\}_x &=&
\partial_y (\nabla \times\boldsymbol{a})_z -\partial_z (\nabla \times\boldsymbol{a})_y\\
&=& \partial_y ({\color{red}{\partial_x}}  a_y -\partial_y {\color{blue}{a_x}} ) -\partial_z ( \partial_z {\color{blue}{a_x}} -{\color{red}{\partial_x}} a_z ) \\
&=& {\color{red}{\partial_x}} ({\color{white}{\partial_x a_x}\ \,} {\color{white}{+}} \partial_y a_y + \partial_z a_z) -({\color{white}{\partial_x \partial_x}\ \,} {\color{white}{+}} \partial_y \partial_y + \partial_z \partial_z ) {\color{blue}{a_x}} \\
&=&  \partial_x  (\partial_x a_x  + \partial_y a_y + \partial_z a_z) -( \partial_x \partial_x  + \partial_y \partial_y + \partial_z \partial_z )  a_x \\
&=&  \partial_x  (\nabla\cdot\boldsymbol{a}) -\nabla^2 a_x \\
&=& \left\{ \nabla\left( \nabla\cdot\boldsymbol{a} \right) -\nabla^2 \boldsymbol{a} \right\}_x
\end{eqnarray} \(y, z\) 成分についても同様。ゆえに，
$$ \nabla\times(\nabla \times\boldsymbol{a}) = \nabla\left( \nabla\cdot\boldsymbol{a} \right) -\nabla^2 \boldsymbol{a} $$

補足：ベクトル場にラプラス演算子を作用させると…

ラプラス演算子はスカラー微分演算子であるから，ベクトル場に作用させた場合は，成分それぞれに作用することになる。つまり，
$$\nabla^2 \boldsymbol{a} = (\nabla^2 a_x)\,\boldsymbol{i}  + (\nabla^2 a_y)\,\boldsymbol{j}  + (\nabla^2 a_z)\,\boldsymbol{k} $$

まとめ

勾配，発散，回転など \(\nabla \) が作用する微分のまとめ。

ナブラ：ベクトル微分演算子 $\nabla$

$$\nabla \equiv \boldsymbol{i}\frac{\partial}{\partial x} + \boldsymbol{j}\frac{\partial}{\partial y} +\boldsymbol{k}\frac{\partial}{\partial z}  = \boldsymbol{i} \partial_x + \boldsymbol{j} \partial_y + \boldsymbol{k} \partial_z$$

スカラー場の勾配 (grad)

$$\nabla \varphi = \boldsymbol{i}\,\partial_x\varphi + \boldsymbol{j}\,\partial _y\varphi+\boldsymbol{k}\,\partial_z\varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x} \,\boldsymbol{i} + \frac{\partial \varphi}{\partial y} \,\boldsymbol{j} +\frac{\partial \varphi}{\partial z} \,\boldsymbol{k}$$

ベクトル場の発散 (div)

$$ \nabla\cdot\boldsymbol{a} =\partial_x a_x + \partial_y a_y + \partial_z a_z =  \frac{\partial a_x}{\partial x} + \frac{\partial a_y}{\partial y} + \frac{\partial a_z}{\partial z}$$

ベクトル場の回転 (rot または curl)

\begin{eqnarray}
\nabla\times\boldsymbol{a} &=&
\left(  \partial_y a_z -\partial_z a_y\right) \boldsymbol{i} +
\left(  \partial_z a_x -\partial_x a_z\right) \boldsymbol{j} +
\left(  \partial_x a_y -\partial_y a_x\right) \boldsymbol{k} \\
&=&\left(  \frac{\partial a_z}{\partial y}  -\frac{\partial a_y}{\partial z} \right) \boldsymbol{i} +
\left(  \frac{\partial a_x}{\partial z}  -\frac{\partial a_z}{\partial x} \right) \boldsymbol{j} +
\left(  \frac{\partial a_y}{\partial x}  -\frac{\partial a_x}{\partial yz} \right) \boldsymbol{k}
\end{eqnarray}

ラプラス演算子（ラプラシアン）

$$\nabla^2 \equiv\nabla\cdot\nabla = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} $$

ベクトル場の微分の恒等式

勾配の回転は恒等的にゼロ・ベクトル

$$\nabla\times(\nabla \varphi) = \boldsymbol{0}$$ 任意のスカラー場の勾配の回転は恒等的にゼロ・ベクトルである。

この恒等式は，電磁気学の中でよく使われる。特に，この恒等式を逆手にとって，何かベクトルがあって，そのベクトルの回転がゼロ・ベクトルになるのであれば，そのベクトルは必ず，あるスカラー場の勾配として書ける。

ベクトル場の回転の発散は恒等的にゼロ

$$ \nabla\cdot(\nabla \times\boldsymbol{a})  = 0$$ 任意のベクトル場の回転の発散は恒等的にゼロである。

この恒等式は，電磁気学の中でよく使われる。特に，この恒等式を逆手にとって，何かベクトルがあって，そのベクトルの発散がゼロになるのであれば，そのベクトルは必ず，あるベクトル場の回転として書ける。

回転の回転

$$ \nabla\times(\nabla \times\boldsymbol{a}) = \nabla\left( \nabla\cdot\boldsymbol{a} \right) -\nabla^2 \boldsymbol{a} $$

追記：ベクトル・スカラーの積の発散

$$\nabla\cdot\left( \boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}\right)
= \left(\nabla\times\boldsymbol{E} \right)\cdot\boldsymbol{B}
-\boldsymbol{E}\cdot\left(\nabla\times\boldsymbol{B} \right)$$

$$\nabla\cdot\left( \phi\,\boldsymbol{D}\right) = \left(\nabla\phi\right)\cdot\boldsymbol{D} +\left(\nabla\cdot\boldsymbol{D}\right)\,\phi$$

こんな関係式，いったいどこで使われるんだ？と憤る人がいるかもしれないが，電磁場のエネルギー密度とポインティングベクトルのところで使われる，それなりに大事な式なんですよ。左辺，右辺を直接計算して等しいことを証明できますからがんばってやってみてください。手計算する体力がない人は，SymPy や Maxima で確かめてみましょう。以下のページを参照：