Python で微分積分などの記号計算をする場合は，以下のように必要なパッケージを import します。（弘大 JupyterHub では必要なパッケージはインストール済みです。）

セルをクリックして，上のメニューから「▶︎ Run」をクリックするか，Shift キーを押しながら Enter キー（Return キー）を押すと実行します。

In [1]:

from sympy.abc import * 
from sympy import *

# SymPy Plotting Backends (SPB): グラフを描く際に利用
from spb import *

# グラフを SVG で Notebook にインライン表示
%config InlineBackend.figure_formats = ['svg']

高階導関数

$f(x)$ を $x$ で $n$ 階微分する例。SymPy では diff(f(x), x, n) のように書きます。
例：

$$\frac{d^2}{dx^2} \sin x = \cdots$$

In [2]:

# 手っ取り早く答えを知りたいときは...

diff(sin(x), x, 2)

Out[2]:

$\displaystyle – \sin{\left(x \right)}$

In [3]:

# 何を計算するかを表示させてから実行する場合は...

Eq(Derivative(sin(x), x, 2), 
   diff(sin(x), x, 2))

Out[3]:

$\displaystyle \frac{d^{2}}{d x^{2}} \sin{\left(x \right)} = – \sin{\left(x \right)}$

テイラー展開

テイラー展開は series() 関数を使います。

指数関数のテイラー展開

$f(x) = e^x$ の $x = 0$ のまわりに $x^5$ までテイラー展開する例。5次までの展開なのになぜ 6 かと悩むかもしれないが，これが Python の流儀らしい。

$x^0$ から数えて 6 番目までだから 6 とか，5 は 6 未満なので 6 と書くとか，各自納得する方法で覚えておく。

In [4]:

f = exp(x)
series(f, x, 0, 6)

Out[4]:

$\displaystyle 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24} + \frac{x^{5}}{120} + O\left(x^{6}\right)$

$O(x^6)$ は $x^6$ 以上の高次の項という意味。

ちなみに，この式で $x=1$ とおくと
$$ e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$$ となり，この級数展開を使ってネイピア数 $e$ の近似値を求めることができる。

例として，$\displaystyle \sum_{k=0}^{10} \frac{1}{k!}$ の計算。SymPy では階乗 $k!$ は factorial(k) です。

In [5]:

# 手っ取り早く総和の答えを知りたいときは...

summation(1/factorial(k), (k, 0, 10))

Out[5]:

$\displaystyle \frac{9864101}{3628800}$

In [6]:

# 何を計算するかを表示させてから実行する場合は...

Eq(Sum(1/factorial(k), (k, 0, 10)), 
   Sum(1/factorial(k), (k, 0, 10)).doit())

Out[6]:

$\displaystyle \sum_{k=0}^{10} \frac{1}{k!} = \frac{9864101}{3628800}$

In [7]:

# 浮動小数点数で表示

float(summation(1/factorial(k), (k, 0, 10)))

Out[7]:

2.7182818011463845

In [8]:

# ネイピア数と比較

float(E)

Out[8]:

2.718281828459045

三角関数のテイラー展開

$f(x) = \sin x$ の $x = 0$ のまわりのテイラー展開は
\begin{eqnarray}
\sin x &=& f(0) + f'(0)\, x + \frac{f”(0)}{2!}\,x^2 + \frac{f”'(0)}{3!}\,x^3 +\cdots \\
&=& \sin 0 + \cos 0 \cdot x + \frac{-\sin 0}{2!}\,x^2 + \frac{-\cos 0}{3!}\,x^3 + \cdots \\
&=& x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \frac{x^7}{7!} + \cdots\\
&=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\,x^{2n+1}
\end{eqnarray}

In [9]:

series(sin(x), x, 0, 8)

Out[9]:

$\displaystyle x – \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} – \frac{x^{7}}{5040} + O\left(x^{8}\right)$

In [10]:

# 階乗の確認

factorial(3), factorial(5), factorial(7)

Out[10]:

(6, 120, 5040)

$f(x) = \cos x$ の $x = 0$ のまわりのテイラー展開は
\begin{eqnarray}
\cos x &=& f(0) + f'(x)\, x + \frac{f”(0)}{2!}\,x^2 + \frac{f”'(0)}{3!}\,x^3 +\cdots \\
&=& \cos 0 – \sin 0 \cdot x + \frac{-\cos 0}{2!}\,x^2 + \frac{\sin 0}{3!}\,x^3 + \cdots \\
&=& 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – \frac{x^6}{6!} + \cdots\\
&=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\,x^{2n}
\end{eqnarray}

In [11]:

series(cos(x), x, 0, 7)

Out[11]:

$\displaystyle 1 – \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} – \frac{x^{6}}{720} + O\left(x^{7}\right)$

In [12]:

# 階乗の確認

factorial(2), factorial(4), factorial(6)

Out[12]:

(2, 24, 720)

参考：テイラー展開した関数のグラフ

$f(x) = e^x$ のテイラー展開

.removeO() で高次の項を取りのぞいて「普通の」関数にしてから plot() します。

In [13]:

expt1 = series(exp(x), x, 0, 2).removeO()
expt2 = series(exp(x), x, 0, 3).removeO()
expt3 = series(exp(x), x, 0, 4).removeO()
expt1, expt2, expt3

Out[13]:

(x + 1, x**2/2 + x + 1, x**3/6 + x**2/2 + x + 1)

In [14]:

plot(exp(x), expt3, expt2, expt1, (x, -2, 2));

$f(x) = \sin x$ のテイラー展開

In [15]:

sint1 = series(sin(x), x, 0, 2).removeO()
sint3 = series(sin(x), x, 0, 4).removeO()
sint5 = series(sin(x), x, 0, 6).removeO()
sint1, sint3, sint5

Out[15]:

(x, -x**3/6 + x, x**5/120 - x**3/6 + x)

In [16]:

plot(sin(x), sint5, sint3, sint1, (x, -pi, pi));

テイラー展開の次数を上げていくと，$|x| < 1$ の範囲では，もとの関数に近づいていくようすがわかります。

人類の至宝：オイラーの公式

オイラーの公式を確認するために，指数関数 $e^{i x}$ を .rewrite(cos) をつけて三角関数で書き直してみます。SymPy では虚数単位 $i$ は I です。

from sympy import pi, E, I

In [17]:

Eq(exp(I*x), 
   exp(I*x).rewrite(cos))

Out[17]:

$\displaystyle e^{i x} = i \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

逆に，三角関数を指数関数を使って表してみます。

In [18]:

cos(x).rewrite(exp)

Out[18]:

$\displaystyle \frac{e^{i x}}{2} + \frac{e^{- i x}}{2}$

In [19]:

sin(x).rewrite(exp)

Out[19]:

$\displaystyle – \frac{i \left(e^{i x} – e^{- i x}\right)}{2}$

以上のことから

\begin{eqnarray}
\cos x &=& \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \\
\sin x &=& \frac{e^{ix} – e^{-ix}}{2 i}
\end{eqnarray}

であることが確認できます。

オイラーの等式

$$e^{i\pi} + 1 = 0$$

オイラーの等式のどこがすごいかというと，

可能における単位元ゼロ $0$ と乗法における単位元 $1$ という整数のもっとも基本となる数
無理数の代表選手，ネイピア数 $e$ と円周率 $\pi$
そして虚数単位 $i$

という，いずれ名だたる役者達が，加法，乗法および冪乗によって見事に結び付けられているということ！

In [20]:

E**(I * pi) + 1 == 0

Out[20]:

True

三角関数と双曲線関数の関係

三角関数と双曲線関数は，ただまぎらわしいほどに似た表記なだけでなく，アイで結ばれた密接な関係であることを確認する。

In [21]:

cosh(I*x)

Out[21]:

$\displaystyle \cos{\left(x \right)}$

In [22]:

sinh(I*x)

Out[22]:

$\displaystyle i \sin{\left(x \right)}$

In [23]:

cos(I*x)

Out[23]:

$\displaystyle \cosh{\left(x \right)}$

In [24]:

sin(I*x)

Out[24]:

$\displaystyle i \sinh{\left(x \right)}$

… ということで以下のことが確認できた。

\begin{eqnarray}
\cosh i x &=& \cos x \\
\sinh i x &=& i \sin x \\
\cos i x &=& \cosh x \\
\sin i x &=& i \sinh x
\end{eqnarray}

逆三角関数と逆双曲線関数の関係

逆三角関数と逆双曲線関数もまた，ただまぎらわしいほどに似た表記なだけでなく，アイで結ばれた密接な関係であることを確認する。

In [25]:

asin(I*x)

Out[25]:

$\displaystyle i \operatorname{asinh}{\left(x \right)}$

In [26]:

atan(I*x)

Out[26]:

$\displaystyle i \operatorname{atanh}{\left(x \right)}$

In [27]:

acos(I*x)

Out[27]:

$\displaystyle – i \operatorname{asinh}{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}$

… ということで以下のことが確認できた。

\begin{eqnarray}
\sin^{-1} i x &=& i \sinh^{-1} x \\
\tan^{-1} i x &=& i \tanh^{-1} x \\
\cos^{-1} i x &=& – i \sinh^{-1} x + \frac{\pi}{2}
\end{eqnarray}

最後の $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ が何かしっくりこないが，これは以下の関係から理解できる。

$$\cos^{-1} x + \sin^{-1} x = \frac{\pi}{2}$$

SymPy でも確認しておく。

In [28]:

Eq(acos(x) + asin(x), 
   acos(x) + asin(x).rewrite(acos))

Out[28]:

$\displaystyle \operatorname{acos}{\left(x \right)} + \operatorname{asin}{\left(x \right)} = \frac{\pi}{2}$

SymPy でテイラー展開・オイラーの公式