例えば，\(\displaystyle \frac{(\sin x)^2}{1 + \cos x + 2 \sin x}\) のような，\(\sin x\) と \(\cos x\) の有理関数の形の関数の積分。\(\displaystyle \tan \frac{x}{2} \equiv t\) という変換をして置換積分すればよい。
\(\displaystyle t \equiv \tan \frac{x}{2} \)による置換積分
（万策が尽きたら最後の手段として）\(\displaystyle \tan \frac{x}{2} \equiv t\) という変換をして置換積分すればよい，という手法が知られている。
この置換によって，\(\sin x\)，\(\cos x\)，\(dx\) が以下のように \(t\) の有理関数となる。
\begin{eqnarray}
\cos^2\frac{x}{2} &=& \frac{1}{1 + \tan^2\frac{x}{2}} = \frac{1}{1+t^2} \\
\sin^2 \frac{x}{2} &=& 1 -\cos^2\frac{x}{2} = \frac{t^2}{1 + t^2}
\end{eqnarray}
なので，これを使って
\begin{eqnarray}
\sin x &=& 2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} = 2 \tan\frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2} \\
&=& \frac{2t}{1+t^2} \\
\cos x &=& \cos^2\frac{x}{2} -\sin^2 \frac{x}{2} = \cos^2\frac{x}{2} \left(1 -\tan^2 \frac{x}{2} \right) \\
&=& \frac{1-t^2}{1+t^2}
\end{eqnarray}
また，
\begin{eqnarray}
dt &=& d \left(\tan \frac{x}{2} \right) \\
&=& \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \frac{dx}{2} \\
\therefore\ \ dx&=& 2 \cos^2 \frac{x}{2} dt \\
&=& \frac{2}{1+t^2} dt
\end{eqnarray}
なので，この手法で置換積分を行うと，答えは最終的には \(\displaystyle t = \tan \frac{x}{2}\) の関数として書かれることになる。
最終的な答えを，半角 \(\displaystyle\frac{x}{2}\) ではなく，\(x\) を引数とする三角関数で描き直したいなぁという要望がある場合には，例えば以下の式を使ってみたらどうだろう。
\begin{eqnarray}
t = \tan\frac{x}{2} &=& \frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}} \\
&=& \frac{2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}}{2 \cos^2\frac{x}{2}} \\
&=& \frac{\sin x}{1 + \cos x} \\
&=& \frac{ 1 -\cos x}{\sin x}
\end{eqnarray}
練習問題 1. $\displaystyle \int \frac{1}{\cos x} \,dx$
万策つきて，$\tan \frac{x}{2} = t$ を使うしかないかな，と思うと
\begin{eqnarray}
\cos x &=& \frac{1-t^2}{1+t^2} \\
dx &=& \frac{2}{1+t^2} dt \\
\therefore\ \ \int \frac{1}{\cos x} \,dx &=& \int \frac{1+t^2}{1-t^2}\, \frac{2}{1+t^2} \,dt \\
&=& 2 \int \frac{1}{1-t^2}\, dt \\
&=& \int\left(\frac{1}{1-t} + \frac{1}{1+t} \right)\, dt \\
&=& \log |1 + t| -\log |1-t| + C \\
&=& \log\left| \frac{1+t}{1-t}\right| + C \\
&=& \log\left| \frac{1+\tan\frac{x}{2}}{1-\tan\frac{x}{2}}\right| + C \tag{1}
\end{eqnarray}
となる。しかし，少し考えると
\begin{eqnarray}
\int \frac{1}{\cos x} \,dx &=& \int \frac{\cos x}{\cos^2 x} \,dx \\
&=& \int \frac{\cos x}{1-\sin^2 x} \,dx
\end{eqnarray}
であるから，$u \equiv \sin x, \ du = \cos x \, dx$ の置換積分でできる。
\begin{eqnarray}
\int \frac{1}{\cos x} \,dx &=& \int \frac{\cos x}{1-\sin^2 x} \,dx \\
&=& \int \frac{1}{1-u^2} \, du \\
&=& \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{1-u} + \frac{1}{1+u}\right) \,du \\
&=& \frac{1}{2} \log\left| \frac{1+u}{1-u}\right| + C \\
&=& \frac{1}{2} \log\left| \frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right| + C \tag{2}
\end{eqnarray}
今度は，$(1)$ 式と $(2)$ 式は果たして同じことを言っているのだろうか？という疑問が出てくるだろう。同じであることを示してみてください。
練習問題 2. $\displaystyle\int \frac{a -b \cos\phi}{a^2 + b^2 -2 a b \cos \phi} d\phi$
まず，こんな積分，いったい何の役に立つのか？と思うでしょ？ この積分は電磁気学において軸対称な電荷分布による静電場を求めるために必要なんですよ。詳細は…
練習問題 3. $\displaystyle\int \frac{a -b \cos\theta}{\left(a^2 + b^2 -2 a b \cos \theta\right)^{\frac{3}{2}}} \sin\theta\, d\theta$
これは $ u \equiv \cos\theta$ とした置換積分で…
こんな積分，いったい何の役に立つのか？と思うでしょ？ この積分は電磁気学において球対称な電荷分布による静電場を求めるために必要なんですよ。詳細は…
メモ
\begin{eqnarray}
\tan\frac{x}{2} &\equiv& t\\
\sin x &=& \frac{2 t}{1 + t^2} \\
\cos x &=& \frac{1 -t^2}{1 + t^2}
\end{eqnarray}
これらを $x$ について解くと
$$x = 2 \tan^{-1} t = \sin^{-1} \frac{2t}{1+t^2} = \cos^{-1} \frac{1 -t^2}{1+t^2}$$
この関係は，宇宙論的距離のところでも以外に活用されていたりしますので，メモ。
練習問題 4. $\displaystyle \int \frac{\sin^3 x -1}{\cos^2 x}\, dx$
こんな積分，人生のどこで使うんだ？と思うかもしれませんが，重力場中の光の経路を調べるときに必要になるんですよ。
\begin{eqnarray}
\int \frac{\sin^3 x -1}{\cos^2 x}\, dx &=&
\int \frac{(1 -\cos^2 x) \sin x}{\cos^2 x} \, dx -\int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx \\
&& \qquad (\cos x \equiv t) \\
&=& \int \frac{t^2 -1}{t^2} \, dt -\tan x \\
&=& t + \frac{1}{t} -\tan x \\
&=& \cos x + \frac{1}{\cos x} -\tan x \\
&=& \frac{\cos^2 x + 1 -\sin x}{\cos x} \\
&=& \frac{2 -\sin x -\sin^2 x}{\cos x}
\end{eqnarray}