2階導関数
\( y = f(x)\) の導関数は以下のように書くのであった。
$$y’, \ \ \frac{dy}{dx}, \ \ f'(x) , \ \ \frac{df}{dx} $$
導関数の導関数を「2階導関数」と言い，以下のように書く。
$$y^{”}, \ \ \frac{d}{dx}\frac{dy}{dx} = \frac{d^2 y}{dx^2}, \ \ f^{”}(x) , \ \ \frac{d^2f}{dx^2} $$
2階微分すると自分自身にマイナスがつく関数
三角関数を2階微分すると…
\begin{eqnarray}
\left( \sin x \right)’ &=& \cos x \\
\left( \sin x \right)^{”} &=& \left( \cos x \right)’ = -\sin x
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\left( \cos x \right)’ &=& -\sin x \\
\left( \cos x \right)^{”} &=& -\left( \sin x \right)’ = -\cos x
\end{eqnarray}
つまり，$\sin x, \ \cos x$ を $x$ で2階微分すると，自分自身にマイナスがついた答えになる。これを覚えておいてください。
2年生の「理工系の数学C」の2階線形常微分方程式の項で，「2階微分したら自分自身にマイナスがつく関数ってなーんだ？」と質問するので，そのときは脊髄反射で「$\cos x$ と $\sin x$ だーっ！」 と叫ぶように。
2階微分すると自分自身になる関数
双曲線関数を2階微分すると…
\begin{eqnarray}
\left( \sinh x \right)’ &=& \cosh x \\
\left( \sinh x \right)^{”} &=& \left( \cosh x \right)’ = \sinh x
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\left( \cosh x \right)’ &=& \sinh x \\
\left( \cosh x \right)^{”} &=& \left( \sinh x \right)’ = \cosh x
\end{eqnarray}
つまり，$\sinh x, \ \cosh x$ を $x$ で2階微分すると，自分自身になる。これを覚えておいてください。
2年生の「理工系の数学C」の2階線形常微分方程式の項で，「2階微分したら自分自身になる関数ってなーんだ？」と質問するので，そのときは脊髄反射で「$\cosh x$ と $\sinh x$ だーっ！」 と叫ぶように。
あるいは，指数関数 $e^x$ や $e^{-x}$ を2階微分すると…
\begin{eqnarray}
\left( e^x\right)^{”} &=& \left( e^x \right)’ = e^x \\
\left( e^{-x}\right)^{”} &=& -\left( e^{-x} \right)’ = e^{-x}
\end{eqnarray}
なので，脊髄反射で「$e^x$ と $e^{-x}$ だーっ！」 と叫んでもよい。
高階（一般に \(n\) 階）導関数
高階（一般に \(n\) 階）の導関数も同様にダッシュ（または欧米なまりでプライム） \({}’\) を \(n\) 個書くのは大変なので）以下のように書く。
$$y^{(n)}, \ \ \frac{d^n y}{dx^n}, \ \ f^{(n)}(x) , \ \ \frac{d^n f}{dx^n} $$
参考：一般化されたライプニッツルール
微分法の公式 3. で，関数の積に関する微分が以下のようになることを示した。
$$\left\{ f(x)\, g(x) \right\}’ = f'(x)\, g(x) + f(x)\, g'(x)$$
2階微分は，
\begin{eqnarray}
\left\{ f(x)\, g(x) \right\}^{”} &=& \left\{ f'(x)\, g(x) + f(x)\, g'(x) \right\}’\\
&=& f^{”}(x) g(x) + f'(x) g'(x) + f'(x) g'(x) + f(x) g^{”}(x) \\
&=& f^{”}(x) g(x) + 2 f'(x) g'(x) + f(x) g^{”}(x)
\end{eqnarray}
3階微分は，
\begin{eqnarray}
\left\{ f(x)\, g(x) \right\}^{\prime\prime\prime} &=& f^{\prime\prime\prime}(x) g(x) + 3 f^{\prime\prime}(x) g'(x) + 3 f'(x) g^{\prime\prime}(x) +f(x) g^{\prime\prime\prime}(x)
\end{eqnarray}
それぞれの項の前の系数は \( (a+b)^2 \) や \( (a+b)^3 \) の各項の系数と同じ「2項係数」になっている。このことを一般化されたライプニッツルールと呼んでいる。