置換積分

積分変数 $x$ をうまく変換すると，積分の計算が簡単になる場合がある。

つまり，被積分関数 $f(x)$ において，$x=\phi (t)$ と置いて，$x$ に関する積分を新しい変数 $t$ に関する積分に置き換える。

このとき，被積分関数を新たな変数 $t$ で表し，また微分 $dx$ を ${\displaystyle \frac{dx}{dt}dt=\frac{d\phi }{dt}dt={\phi }^{\prime }(t)dt}$ で置き換え，

$$\int f(x)dx=\int f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)dt$$

定積分の場合には $x$ の積分範囲 $a,b$ も $a=\phi (\alpha ),b=\phi (\beta )$ となる $t$ の積分範囲 $\alpha ,\beta$ に置き換えて，以下のようになる。
$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)dt$$

… ということになるが，現実的には $t=g(x)$ として $x$ の関数として新たな変数 $t$ を定義することになるだろう。また，不定積分の場合は最終的な結果は元の積分変数 $x$ で表すことになる。

例題 1

${\displaystyle \int \frac{\log x}{x}dx}$

これは，$x=e^t$ と置く… というよりは，$\log x\equiv t$ と置くとするのが現実的な発想であろう。そうすると，${\displaystyle \frac{1}{x}dx=dt}$ であるから，
$$\begin{array}{rcl}\int \frac{\log x}{x}dx& =& \int tdt\\ & =& \frac{t^2}{2}+C\\ & =& \frac{(\log x{)}^2}{2}+C\end{array}$$

例題 2

${\displaystyle \int \sin ax\cos axdx}$

たとえば，$\sin ax\equiv t$ とおくと

$$\begin{array}{rcl}\cos axadx& =& dt\\ \therefore \cos axdx& =& \frac{dt}{a}\\ \therefore \int \sin ax\cos axdx& =& \int t\frac{dt}{a}\\ & =& \frac{t^2}{2a}+C\\ & =& \frac{{\sin }^{2}ax}{2a}+C\end{array}$$

あるいは，$\cos ax\equiv t$ とおくと

$$\begin{array}{rcl}-\sin axadx& =& dt\\ \therefore \sin axdx& =& -\frac{dt}{a}\\ \therefore \int \sin ax\cos axdx& =& -\int t\frac{dt}{a}\\ & =& -\frac{t^2}{2a}+C\\ & =& -\frac{{\cos }^{2}ax}{2a}+C\end{array}$$

あるいはまた，倍角の公式を使うと

$$\begin{array}{rcl}\int \sin ax\cos axdx& =& \frac{1}{2}\int \sin (2ax)dx\\ & =& \frac{1}{4a}\int \sin (2ax)\cdot 2adx\\ & & (2ax\equiv t)\\ & =& \frac{1}{4a}\int \sin tdt\\ & =& -\frac{\cos t}{4a}+C\\ & =& -\frac{\cos 2ax}{4a}+C\end{array}$$

となり，1つの不定積分に対して見かけ上，3通りの答えがでてくる。これらが（積分定数の不定性を考慮すれば）同等であることを確認しておくこと。

Maxima や Python の SymPy を使ってコンピュータで積分させると，以下のように一見別の答えが出てくるので，そんな時も少しも騒がず，その同等性を示すのが（機械ではなく）人類の役割なんですよ。

'integrate(sin(a*x)*cos(a*x), x) = 
 integrate(sin(a*x)*cos(a*x), x);

一方，Python の SymPy では，

from sympy import *
from sympy.abc import *

Eq(Integral(sin(a*x)*cos(a*x), x), 
   integrate(sin(a*x)*cos(a*x), x))