微分法の公式

主な公式

1. ${\displaystyle {\{f(x)\pm g(x)\}}^{\prime }=f^{\prime }(x)\pm g^{\prime }(x)}$
2. ${\displaystyle {\{cf(x)\}}^{\prime }=c{f}^{\prime }(x)}$  （$c$ は定数）
3. ${\displaystyle {\{f(x)g(x)\}}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)}$ （ライプニッツルール）
4. ${\displaystyle {\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}}^{\prime }=-\frac{g^{\prime }(x)}{{\{g(x)\}}^2}}$
5. ${\displaystyle {\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{{\{g(x)\}}^2}}$

証明

1. および 2. については省略。

3. の証明：

$$\begin{array}{rcl}{\{f(x)g(x)\}}^{\prime }& =& \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ & =& \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ & =& \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x)\{g(x+h)-g(x)\}}{h}\\ & =& \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x)+f(x)\underset{h\to 0}{lim}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ & =& f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)\end{array}$$

4. の証明：

$$\begin{array}{rcl}{\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}}^{\prime }& =& \underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\{\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)}\}\\ & =& \underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\frac{g(x)-g(x+h)}{g(x+h)g(x)}\\ & =& -\frac{1}{\{g(x){\}}^2}\underset{h\to 0}{lim}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ & =& -\frac{g^{\prime }(x)}{\{g(x){\}}^2}\end{array}$$

5. については，

$${\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}}^{\prime }={\{f(x)\cdot \frac{1}{g(x)}\}}^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot \frac{1}{g(x)}+f(x)\cdot {\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}}^{\prime }$$ とすれば，3. および 4. の公式から簡単に証明できる。

合成関数の微分法

$y=g(u),u=f(x)$ つまり，$y$ が $u$ を通して $x$ の関数であるとき，

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$$

高校の数学では ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ は分数ではない！と習ったかもしれないが，大学では分数みたいなものである，としちゃうので，上記の証明は分母分子の $du$ が約分されるから明らかであろう。

例：

$y=(a{x}^2+bx+c{)}^5$ の導関数 $y^{\prime }$ の計算は，$u\equiv a{x}^2+bx+c$ として $y=u^5$ だから，
$$y^{\prime }=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=5u^4(2ax+b)=5(2ax+b)(a{x}^2+bx+c{)}^4$$

逆関数の微分法

$y=f(x)$ の逆関数 $x=f^{-1}(y)$ の微分は，
$$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$$

証明：

合成関数の微分より
$$\frac{dx}{dx}=\frac{dx}{dy}\frac{dy}{dx}=1,\therefore \frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$$

例：

$y=ax+b$ ($a\ne 0$ ) の逆関数は，
$$y-b=ax,\therefore x=\frac{y-b}{a}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(ax+b)=a,\frac{dx}{dy}=\frac{d}{dx}\left(\frac{y-b}{a}\right)=\frac{1}{a}$$ だから，確かに
$$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$$になっている。

パラメータ表示の関数の微分法

$x=f(t),y=g(t)$ は変数（パラメータ）$t$ の値を決めると $x$  と $y$ の値も一意に決まる。言い換えると，$y$ はパラメータ $t$ を通して $x$ の関数とみなすことができる。このとき，
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\dot{y}}{\dot{x}}$$