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微分法の公式

主な公式

  1. {f(x)±g(x)}=f(x)±g(x)
  2. {cf(x)}=cf(x)  (c は定数)
  3. {f(x)g(x)}=f(x)g(x)+f(x)g(x) (ライプニッツルール)
  4. {1g(x)}=g(x){g(x)}2
  5. {f(x)g(x)}=f(x)g(x)f(x)g(x){g(x)}2

証明

1. および 2. については省略。

3. の証明:

{f(x)g(x)}=limh0f(x+h)g(x+h)f(x)g(x)h=limh0f(x+h)g(x+h)f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)f(x)g(x)h=limh0f(x+h)f(x)hg(x+h)+limh0f(x){g(x+h)g(x)}h=limh0f(x+h)f(x)hg(x)+f(x)limh0g(x+h)g(x)h=f(x)g(x)+f(x)g(x)

4. の証明:

{1g(x)}=limh01h{1g(x+h)1g(x)}=limh01hg(x)g(x+h)g(x+h)g(x)=1{g(x)}2limh0g(x+h)g(x)h=g(x){g(x)}2

5. については,

{f(x)g(x)}={f(x)1g(x)}=f(x)1g(x)+f(x){1g(x)} とすれば,3. および 4. の公式から簡単に証明できる。

合成関数の微分法

y=g(u), u=f(x) つまり,yu を通して x の関数であるとき,

dydx=dydududx

高校の数学では dydx は分数ではない!と習ったかもしれないが,大学では分数みたいなものである,としちゃうので,上記の証明は分母分子の du が約分されるから明らかであろう。

例:

y=(ax2+bx+c)5 の導関数 y の計算は,uax2+bx+c として y=u5 だから,
y=dydududx=5u4(2ax+b)=5(2ax+b)(ax2+bx+c)4

逆関数の微分法

y=f(x) の逆関数 x=f1(y) の微分は,
dxdy=1dydx

証明:

合成関数の微分より
dxdx=dxdydydx=1,   dxdy=1dydx

例:

y=ax+b (a0 ) の逆関数は,
yb=ax,    x=yba
dydx=ddx(ax+b)=a,dxdy=ddx(yba)=1a だから,確かに
dxdy=1dydxになっている。

パラメータ表示の関数の微分法

x=f(t), y=g(t) は変数(パラメータ)t の値を決めると x  と y の値も一意に決まる。言い換えると,y はパラメータ t を通して x の関数とみなすことができる。このとき,
dydx=dydtdtdx=dydtdxdt=y˙x˙