相対論の理解とその周辺
Return to 理工系の数学B
1. および 2. については省略。
3. の証明:
{f(x)g(x)}′=limh→0f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)h=limh→0f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)−f(x)g(x)h=limh→0f(x+h)−f(x)hg(x+h)+limh→0f(x){g(x+h)−g(x)}h=limh→0f(x+h)−f(x)hg(x)+f(x)limh→0g(x+h)−g(x)h=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
4. の証明:
{1g(x)}′=limh→01h{1g(x+h)−1g(x)}=limh→01hg(x)−g(x+h)g(x+h)g(x)=−1{g(x)}2limh→0g(x+h)−g(x)h=−g′(x){g(x)}2
5. については,
{f(x)g(x)}′={f(x)⋅1g(x)}′=f′(x)⋅1g(x)+f(x)⋅{1g(x)}′ とすれば,3. および 4. の公式から簡単に証明できる。
y=g(u), u=f(x) つまり,y が u を通して x の関数であるとき,
dydx=dydududx
高校の数学では dydx は分数ではない!と習ったかもしれないが,大学では分数みたいなものである,としちゃうので,上記の証明は分母分子の du が約分されるから明らかであろう。
例:
y=(ax2+bx+c)5 の導関数 y′ の計算は,u≡ax2+bx+c として y=u5 だから, y′=dydududx=5u4(2ax+b)=5(2ax+b)(ax2+bx+c)4
y=f(x) の逆関数 x=f−1(y) の微分は, dxdy=1dydx
証明:
合成関数の微分より dxdx=dxdydydx=1, ∴ dxdy=1dydx
y=ax+b (a≠0 ) の逆関数は, y−b=ax, ∴ x=y−ba dydx=ddx(ax+b)=a,dxdy=ddx(y−ba)=1a だから,確かに dxdy=1dydxになっている。
x=f(t), y=g(t) は変数(パラメータ)t の値を決めると x と y の値も一意に決まる。言い換えると,y はパラメータ t を通して x の関数とみなすことができる。このとき, dydx=dydtdtdx=dydtdxdt=y˙x˙
最近の Memo