主な公式
- \(\displaystyle \left\{ f(x) \pm g(x) \right\}’ = f'(x) \pm g'(x) \)
- \(\displaystyle \left\{ c f(x) \right\}’ = c f'(x) \) （\(c\) は定数）
- \(\displaystyle \left\{ f(x)\, g(x) \right\}’ = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x) \) （ライプニッツルール）
- \(\displaystyle \left\{ \frac{1}{g(x)} \right\}’ = -\frac{g'(x)}{\left\{g(x)\right\}^2} \)
- \(\displaystyle \left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \right\}’ = \frac{f'(x)\,g(x) -f(x)\, g'(x)}{\left\{g(x)\right\}^2} \)
証明
1. および 2. については省略。
3. の証明：
\begin{eqnarray}
\left\{ f(x)\, g(x) \right\}’ &=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)\,g(x+h) -f(x)\,g(x)}{h} \\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)\,g(x+h) -f(x)\,g(x+h) + f(x)\,g(x+h) -f(x)\,g(x)}{h}\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) -f(x)}{h}\,g(x+h) + \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x) \{g(x+h) -g(x)\}}{h}\\
&=&\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) -f(x)}{h}\,g(x) +f(x) \lim_{h \rightarrow 0}\frac{g(x+h) -g(x)}{h}\\
&=& f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x)
\end{eqnarray}
4. の証明：
\begin{eqnarray}
\left\{ \frac{1}{g(x)} \right\}’ &=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \left\{\frac{1}{g(x+h)} -\frac{1}{g(x)}\right\}\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \frac{g(x) -g(x+h)}{g(x+h)\,g(x)} \\
&=& -\frac{1}{\{g(x)\}^2}\,\lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h) -g(x)}{h} \\
&=& -\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}
\end{eqnarray}
5. については，
$$
\left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \right\}’ = \left\{ f(x) \cdot \frac{1}{g(x)} \right\}’ = f'(x)\cdot \frac{1}{g(x)} + f(x) \cdot\left\{ \frac{1}{g(x)} \right\}’$$ とすれば，3. および 4. の公式から簡単に証明できる。
合成関数の微分法
\( y = g(u), \ u = f(x) \) つまり，\( y\) が \(u\) を通して \(x\) の関数であるとき，
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx} $$
高校の数学では \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) は分数ではない！と習ったかもしれないが，大学では分数みたいなものである，としちゃうので，上記の証明は分母分子の \(du\) が約分されるから明らかであろう。
例：
\( y = (a x^2 + b x + c)^5 \) の導関数 \( y’\) の計算は，\( u \equiv a x^2 + b x + c \) として \( y = u^5\) だから，
$$ y’ = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = 5 u^4 (2 a x + b) = 5 (2 a x + b)(a x^2 + b x + c)^4$$
逆関数の微分法
\( y = f(x) \) の逆関数 \(x = f^{-1} (y) \) の微分は，
$$ \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} $$
証明：
合成関数の微分より
$$ \frac{dx}{dx} = \frac{dx}{dy}\,\frac{dy}{dx} = 1, \ \ \therefore \ \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$$
例：
\( y = a x + b \) (\( a\neq 0\) ) の逆関数は，
$$ y -b = a x, \ \ \therefore \ \ x = \frac{y -b}{a} $$
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (a x + b) = a, \quad \frac{dx}{dy} = \frac{d}{dx} \left( \frac{y -b}{a}\right) = \frac{1}{a}$$ だから，確かに
$$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$$になっている。
パラメータ表示の関数の微分法
\(x = f(t), \ y = g(t)\) は変数（パラメータ）\(t\) の値を決めると \(x\) と \(y\) の値も一意に決まる。言い換えると，\(y\) はパラメータ \(t\) を通して \(x\) の関数とみなすことができる。このとき，
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt}\,\frac{dt}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\dot{y}}{\dot{x}} $$