\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} \) が \(\displaystyle \frac{0}{0}\) や \(\displaystyle \frac{\infty}{\infty}\) のような不定形になるときに \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} \) を求める方法。
証明なしに書いておくと，\(f(a) = 0, \ g(a) = 0\) のとき，
$$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
また，\(f(a) \rightarrow \pm \infty, \ g(a) = \rightarrow \pm \infty\) のときも同様に，
$$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
雑談：
ちなみに，\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1\) もこのロピタルの定理を使って
$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{\cos 0}{1} = 1$$
のように証明できる，というのはダメ。なぜなら，上記の計算の際に
$$\left( \sin x \right)’ = \cos x$$
を使っているが，この三角関数の微分を示す際に，\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1\) が使われているから。「三角関数の微分」のページを参照。
くどいようだが，\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1\) を示すためにロピタルの定理を使おうとすると，その際に \(\left( \sin x \right)’ = \cos x\) が必要になるが，\(\left( \sin x \right)’ = \cos x\) を示すためには \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1\) を使う必要があるので堂々巡りになって，証明にならないということ。
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1\) は三角関数の微分を使わずに証明する必要がある。ということで，「参考：三角関数の極限公式の証明」にその証明を書いておいたのであった。
ロピタルの定理をテイラー展開的に理解する
\(f(a) = 0, \ g(a) = 0\) のとき，
$$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
であることをテイラー展開を使って（証明ではなく）理解してみる。
\begin{eqnarray}
\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} &=& \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(a+x)}{g(a+x)}\\
&=& \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(a) + f'(a) x + \cdots}{g(a) + g'(a) x + \cdots}\\
&=& \lim_{x \rightarrow 0} \frac{0 + f'(a) x + O(x^2)}{0 + g'(a) x + O(x^2)}\\
&=& \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f'(a) + O(x)}{g'(a) + O(x)}\\
&=& \frac{f'(a) }{g'(a) }
\end{eqnarray}
ただし，このままでは \(f(a) \rightarrow \pm \infty, \ g(a) = \rightarrow \pm \infty\) のときも，
$$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
となることがうまく理解できなくて悩むなぁ。
追記：
悩んでばかりもいられないので，なんとか \(f(a) \rightarrow \pm \infty, \ g(a) = \rightarrow \pm \infty\) のときも
$$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
となることをテイラー展開的に理解してみる。
$$F(x) \equiv \frac{1}{f(x)}, \quad G(x) \equiv \frac{1}{g(x)}$$
と定義すると，$F(a) = 0, \quad G(a) = 0$ であるから
\begin{eqnarray}
\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(a+x)}{g(a+x)}
&=& \lim_{x \rightarrow 0} \frac{G(a+x)}{F(a+x)} \\
&=& \lim_{x \rightarrow 0} \frac{G(a) + G'(a) x + O(x^2)}{F(a) + F'(a) x + O(x^2)}\\
&=& \lim_{x \rightarrow 0} \frac{G'(a) + O(x)}{F'(a) + O(x)}\\
&=& \lim_{x \rightarrow 0} \frac{G'(a+x)}{F'(a+x) }\\
&=& \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{g'(a+x)}{(g(a+x))^2}}{-\frac{f'(a+x)}{(f(a+x))^2}}\\
&=& \left(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(a+x)}{g(a+x)} \right)^2\ \frac{g'(a)}{f'(a)} \\
\therefore\ \ 1 &=& \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(a+x)}{g(a+x)} \ \frac{g'(a)}{f'(a)} \\
\therefore\ \ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(a+x)}{g(a+x)} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} &=& \frac{f'(a)} {g'(a)}
\end{eqnarray}
… というふうな理解（証明ではなく）が可能かと。