定積分の定義
区間 \([a, b]\) における \(f(x)\) の定積分を以下のように表す。
$$ \int_a^b f(x) \, dx = \Bigl[ F(x) \Bigr]^b_a \equiv F(b) -F(a)$$
また，
$$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f(t) \, dt = \int_a^b f(*) \, d*$$のように \(*\) の部分の変数のことを「積分変数」というが，この積分変数にはどんな変数を使ってもよい。
定積分の性質
定積分は，積分区間に関して加法性を有する：つまり，
$$\int_a^{\color{red}b} f(x)\, dx + \int_{\color{red}b}^c f(x)\, dx = \int_a^c f(x)\,dx$$
また，
$$\int_a^a f(x)\, dx = 0$$
上記の2つの性質からただちに，以下のことがわかる。
$$\int_a^b f(x)\, dx = -\int_b^a f(x)\,dx$$
さらに，不定積分のときに成り立つとした積分の線形性は，定積分に対してもそのまま成り立つ。\(k\) を定数とすると，
$$ \int_a^b k f(x)\, dx = k \int_a^b f(x)\, dx$$
$$\int_a^b \left\{f(x) + g(x)\right\}\, dx = \int_a^b f(x)\, dx + \int_a^b g(x)\, dx$$
定積分が面積を与えること
上図のように，\(y = f(x) > 0\)，\( y = 0\)（\(x\) 軸），\(x = a\)，および \(x = x\) で囲まれた黄色い部分の面積を \(S(x)\) とする。
今，\(x \rightarrow x + \Delta x\) と変化したときの面積の変化分（上図の灰色部分）を
$$\Delta S \equiv S(x + \Delta x) -S(x)$$ とする。今，着目している範囲で \(f'(x) \geq 0\) とすると，図からわかるように，
$$ {\color{blue}{f(x) \Delta x}} \leq \Delta S \leq {\color{red}{f(x+ \Delta x) \Delta x}}$$
各項を \(\Delta x\) で割って \(\Delta x \rightarrow 0\) の極限をとると，
$$ f(x) \leq \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta S}{\Delta x} = \frac{dS}{dx} \leq \lim_{\Delta x \rightarrow 0}f(x + \Delta x) = f(x)$$
$$\therefore\ \ \frac{dS}{dx} = f(x)$$
つまり，\(S(x)\) は \(f(x)\) の原始関数（のひとつ）であることがわかるので，
$$S(x) = \int f(x)\, dx = F(x) + C$$と書くことができる。
\(x = a\) のとき，面積はゼロであるので
$$S(a) = F(a) + C = 0, \quad \therefore\ \ C = -F(a), \quad S(x) = F(x) -F(a)$$
定積分の記法を思い出すと，
$$ S(x) = F(x) -F(a) = \Bigl[F(x)\Bigr]_a^x = \int_a^x f(t)\,dt$$
この結果から以下のことがわかる。
1. 定積分 \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\) は，\(y=f(x)\ (>0), \ \ y = 0, \ \ x = a, \ \ x = b \ (>a)\) で囲まれる部分の面積を表すこと。
2. 不定積分 \(\displaystyle \int f(x)\,dx\) は，定積分を使って以下のように書けること。積分の下端 \(a\) は任意の定数なので，省略して書く場合もある。積分の下端が不定なので不定積分。
$$\int f(x)\,dx = \int_a^{x} f(t)\,dt = \int^x f(t)\,dt$$
注意：\(\displaystyle \int^x f(x)\,dx\) などと書くと積分の上端の値である\(x\) があたかも積分変数と混同されるので，\(\displaystyle \int^x f(t)\,dt\) などと書くのが吉。