定積分とは

定積分の定義

区間 $[a,b]$ における $f(x)$ の定積分を以下のように表す。
$${\int }_a^{b}f(x)dx=[F(x){]}_a^b\equiv F(b)-F(a)$$
また，
$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(t)dt={\int }_a^{b}f(\ast )d\ast$$のように $\ast$ の部分の変数のことを「積分変数」というが，この積分変数にはどんな変数を使ってもよい。

定積分の性質

定積分は，積分区間に関して加法性を有する：つまり，
$${\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx$$

また，
$${\int }_a^{a}f(x)dx=0$$

上記の2つの性質からただちに，以下のことがわかる。
$${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$$

さらに，不定積分のときに成り立つとした積分の線形性は，定積分に対してもそのまま成り立つ。$k$ を定数とすると，
$${\int }_a^{b}kf(x)dx=k{\int }_a^{b}f(x)dx$$
$${\int }_a^b\{f(x)+g(x)\}dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx$$

定積分が面積を与えること

上図のように，$y=f(x)>0$，$y=0$（$x$ 軸），$x=a$，および $x=x$ で囲まれた黄色い部分の面積を $S(x)$ とする。

今，$x\to x+\mathrm{\Delta }x$ と変化したときの面積の変化分（上図の灰色部分）を
$$\mathrm{\Delta }S\equiv S(x+\mathrm{\Delta }x)-S(x)$$ とする。今，着目している範囲で $f^{\prime }(x)\ge 0$ とすると，図からわかるように，
$$f(x)\mathrm{\Delta }x\le \mathrm{\Delta }S\le f(x+\mathrm{\Delta }x)\mathrm{\Delta }x$$

各項を $\mathrm{\Delta }x$ で割って $\mathrm{\Delta }x\to 0$ の極限をとると，
$$f(x)\le \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }S}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{dS}{dx}\le \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}f(x+\mathrm{\Delta }x)=f(x)$$
$$\therefore \frac{dS}{dx}=f(x)$$

つまり，$S(x)$ は $f(x)$ の原始関数（のひとつ）であることがわかるので，
$$S(x)=\int f(x)dx=F(x)+C$$と書くことができる。

$x=a$ のとき，面積はゼロであるので
$$S(a)=F(a)+C=0,\therefore C=-F(a),S(x)=F(x)-F(a)$$

定積分の記法を思い出すと，
$$S(x)=F(x)-F(a)=[F(x){]}_a^x={\int }_a^{x}f(t)dt$$

この結果から以下のことがわかる。

1. 定積分 ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx}$ は，$y=f(x)(>0),y=0,x=a,x=b(>a)$ で囲まれる部分の面積を表すこと。

2. 不定積分 ${\displaystyle \int f(x)dx}$ は，定積分を使って以下のように書けること。積分の下端 $a$ は任意の定数なので，省略して書く場合もある。積分の下端が不定なので不定積分。
$$\int f(x)dx={\int }_a^{x}f(t)dt={\int }^{x}f(t)dt$$

注意：${\displaystyle {\int }^{x}f(x)dx}$ などと書くと積分の上端の値である$x$ があたかも積分変数と混同されるので，${\displaystyle {\int }^{x}f(t)dt}$ などと書くのが吉。