微分の逆演算としての不定積分。
微分は与えられた関数から，その導関数を求める。（不定）積分とは，導関数が与えられたときに，微分する前のもとの関数を求めること。その意味で，微分の逆演算。
原始関数
関数 \(f(x)\) が与えられたとき，
$$ \frac{d}{dx} F(x) = F'(x) = f(x)$$ となる \(F(x)\) を \(f(x) \) の「原始関数」と呼ぶ。
これは，関数 \(F(x)\) が与えられたとき，$$ \frac{d}{dx} F(x) = F'(x) = f(x)$$ となる \(f(x)\) を \(F(x) \) の「導関数」と呼んだことの逆の言い回しになっている。
不定積分と積分定数
今，関数 \(f(x)\) の原始関数の一つ \(F(x)\) が求められたとしよう。そのとき，\(F(x)\) に任意定数 \(C\) を足したものもやはり原始関数である。なぜなら
$$(F(x) + C)’ = F'(x) + C’ = f(x), \ \ \because C’ = 0$$
このとき，
$$\int f(x) \, dx = F(x) + C$$ と書き，\(\displaystyle \int f(x) \, dx \) を \(f(x)\) の「不定積分」という。また任意定数 \(C\) を「積分定数」という。
\(f(x)\) の不定積分を求めることを，「積分する」ということもある。
積分の線形性
\(k\) を定数とすると，以下のような関係が成り立つ。
$$ \int k f(x)\, dx = k \int f(x)\, dx$$
$$\int \left\{f(x) + g(x)\right\}\, dx = \int f(x)\, dx + \int g(x)\, dx$$
初等関数の不定積分
これまで説明してきたように，いわゆる初等関数（べき関数，指数関数，対数関数，三角関数等）の導関数が存在することはわかっているので，逆演算としての不定積分も以下のようになることがわかる。（積分定数は省略。）
\begin{eqnarray}
(x^{p+1})’ = (p+1) \, x^{p} \ \ &\Longleftrightarrow& \ \ \int x^{p}\, dx = \frac{1}{p+1} x^{p+1}\ \ (p \neq -1)\\
(e^x)’ = e^x \ \ &\Longleftrightarrow& \ \ \int e^x \, dx = e^x\\
(\log |x|)’ = \frac{1}{x} \ \ &\Longleftrightarrow& \ \ \int\frac{1}{x} \, dx = \log|x|\\
(\sin x)’ = \cos x \ \ &\Longleftrightarrow& \ \ \int \cos x \, dx = \sin x\\
(\cos x)’ = -\sin x \ \ &\Longleftrightarrow& \ \ \int \sin x \, dx = -\cos x \\
(\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x} \ \ &\Longleftrightarrow& \ \ \int \frac{1}{\cos^2 x}\, dx = \tan x\\
(\sin^{-1} x)’ = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ \ &\Longleftrightarrow& \ \ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\, dx = \sin^{-1} x\\
(\cos^{-1} x)’ = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \ &\Longleftrightarrow& \ \ \int \left\{-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right\}\, dx = \cos^{-1} x\\
(\tan^{-1} x)’ = \frac{1}{1+x^2}\ \ &\Longleftrightarrow& \ \ \int \frac{1}{1+x^2}\, dx = \tan^{-1} x \\
(\sinh x)’ = \cosh x\ \ &\Longleftrightarrow& \ \ \int \cosh x \, dx = \sinh x \\
(\cosh x)’ = \sinh x\ \ &\Longleftrightarrow& \ \ \int \sinh x\, dx = \cosh x \\
(\tanh x)’ = \frac{1}{\cosh^2 x}\ \ &\Longleftrightarrow& \ \ \int \frac{1}{\cosh^2 x}\, dx = \tanh x \\
(\sinh^{-1} x)’ = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\ \ &\Longleftrightarrow& \ \ \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\, dx = \sinh^{-1} x \\
(\cosh^{-1} x)’ = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ \ &\Longleftrightarrow& \ \ \int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\, dx = \cosh^{-1} x \\
(\tanh^{-1} x)’ = \frac{1}{1-x^2}\ \ &\Longleftrightarrow& \ \ \int \frac{1}{1-x^2}\, dx = \tanh^{-1} x
\end{eqnarray}
素朴な疑問：$\cos^{-1} x$ か $-\sin^{-1} x$ か
$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\, dx = \sin^{-1} x $$
なら
$$\int \left\{-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right\}\, dx = -\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\, dx = \cos^{-1} x$$
じゃあなくて
$$-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\, dx = -\sin^{-1} x $$
なんじゃあないの？ それとも $\cos^{-1} x$ と $ -\sin^{-1} x$ は同じなの？と疑問をもつあなたへ。別ページを参照のこと。