\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1\) の証明。これを使って三角関数の微分を導くのであるから，三角関数の微分を前提としたロピタルの定理などを使っては証明になりませんよ。
半径 \(r = 1\)（つまり，\(OA = OB = 1\)），中心角 \(x\) （ラジアン）の扇形 \(OAB\) の面積 \(\color{red}{S}\) は，
$$\color{red}{S = \frac{x}{2}}$$これは，扇形の面積が中心角に比例し，特に \(x = 2 \pi \) のとき \(S = \pi r^2 = \pi, (\because \ r = 1)\) となることからわかる。
次に，二等辺三角形 \(OAB\) の面積 \(\color{darkgreen}{S_1}\) は，底辺が \(OA = 1, \) 高さが \(PB = \sin x\) であることから
$$\color{darkgreen}{S_1 = \frac{1}{2} \sin x}$$
また，直角三角形 \(OAC\) の面積 \(\color{blue}{S_2}\) は，底辺が \(OA = 1, \) 高さが \(AC = \tan x\) であることから
$$ \color{blue}{S_2 = \frac{1}{2} \tan x}$$
図からわかるように，
$$ {\color{darkgreen}{S_1}} < {\color{red}{S}} < {\color{blue}{S_2}}$$ であるから
$$ {\color{darkgreen}{\frac{1}{2} \sin x}} < {\color{red}{\frac{x}{2}}} < {\color{blue}{\frac{1}{2} \tan x }}$$
\( \sin x > 0 \) として各項に \(\displaystyle \frac{2}{\sin x}\) をかけて…
$$ 1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$$
逆数をとると不等号の向きがかわり…
$$\therefore \ 1 > \frac{\sin x}{x} > \cos x$$
各項の極限をとると…
$$ \lim_{x \rightarrow 0} 1 = 1 \geq \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} \geq \lim_{x \rightarrow 0}\cos x = 1$$
つまり，
$$ 1 \geq \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} \geq 1$$
$$\therefore \ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$