三角関数の微分を示すために必要なのは，次の3つ。これらは高校の数学で習ったはずですから証明は略。
1. \(\quad\) 三角関数の極限公式 \(\quad\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)
2. \(\displaystyle \quad \sin\alpha -\sin\beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \)
3. \(\displaystyle \quad \cos\alpha -\cos\beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \)
導関数の定義から，
\begin{eqnarray}
(\sin x)’ &=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(x + h) -\sin x}{h} \\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \cdot 2 \cos\frac{x + h + x}{2} \sin\frac{x + h -x}{2}\\
&=& \cos x\cdot \lim_{\frac{h}{2} \rightarrow 0} \frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \\
&=& \cos x
\end{eqnarray}
\( (\cos x)’\) も同様に計算できる。\( (\tan x)’ \) については，微分法の公式 5. より
$$ (\tan x)’ = \left\{ \frac{\sin x}{\cos x} \right\}’ = \frac{(\sin x)’ \cos x -\sin x (\cos x)’}{\cos^2 x} = \cdots$$
として，\( \cos^2 x + \sin^2 x = 1\) を使うのであった。