\(f(x)\) が \(x = a\) を含む区間で微分可能であるとき，以下のように展開できる。これを「\(x = a\) のまわりのテイラー展開」と呼ぶ。
\begin{eqnarray}
f(a + x) &=& f(a) + f'(a)\, x + \frac{f^{”}(a)}{2!}\, x^2 + \cdots +
\frac{f^{({n})}(a)}{n!}\, x^n + \cdots\\
&=& f(a) + \sum_{k=1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\, x^k
\end{eqnarray}
特に，\(x = 0\) のまわりのテイラー展開のことを「マクローリン展開」と呼ぶ（場合もあるが，\(a\) の値によって呼び方が変わるのは覚えにくいので，記憶の簡素化の立場から，この授業では特に区別せずにテイラー展開と呼ぶことにする。）
テイラー展開を説明するためには，以下のテイラーの定理が成り立つことを証明しておく必要がる。
テイラーの定理
\(f(x)\) が \(a, b\) を含む区間で \(n\) 回微分可能であるとき，
$$f(b) = f(a) + f'(a)\,(b-a) + \frac{f^{”}(a)}{2!}\,(b-a)^2 + \cdots + \frac{f^{({n-1})}(a)}{(n-1)!} (b-a)^{n-1}+ R_n$$
ただし，$$R_n = \frac{f^{({n})}(c)}{n!} \,(b-a)^{n}$$を満たす \(c\ \ (a < c < b) \) が存在する。この \(R_n\) を剰余項と呼ぶ。
証明
簡単のため，\(n=2\) の場合，つまり
$$f(b) = f(a) + f'(a)\,(b-a) + \frac{f^{”}(c)}{2!} \,(b-a)^{2}$$を満たす \(c\ \ (a < c < b) \) が存在することを証明してみる。（一般の \(n\) の場合も同様。）
言い換えると，
$$ f(b) -f(a) -f'(a)\,(b-a) -\frac{K}{2!}\,(b-a)^2 = 0$$ となる定数 \(K\) が \(a < c < b\) である \(c\) を使って \(K = f^{”}(c)\) となることを示せばよい。
関数
$$F(x) \equiv f(b) -f(x) -f'(x)\,(b-x) -\frac{K}{2!}\,(b-x)^2$$を定義すると，定義からただちに \(F(b) = 0\)。
また，$K$ の値をうまくとると，必ず $F(a) = 0$ とすることもできるはずである。言い換えると，$F(a) = 0$ となるような $K$ が存在するはずである。
そうなると \(F(a) = F(b)\) であることから，関数 \(F(x)\) は区間 \((a, b)\) 内のどこか \(x=c\) で \(F'(c) = 0\) となる極値をもつはずである。したがって，
\begin{eqnarray}
F'(x) &=& -f'(x) – f^{”}(x)\, (b-x) + f'(x) + K\, (b-x) \\
F'(c) &=& -f'(c) -f^{”}(c)\,(b-c) + f'(c) + K \,(b-c) = 0\\
\therefore\ \ K &=& f^{”}(c)
\end{eqnarray}
となり，証明できた…と思うけど，これでいいかな？
テイラー展開
テイラーの定理において，剰余項が \( \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} R_n = 0\) のとき，\(f(b)\) は以下のような無限級数であらわされる。
$$f(b) = f(a) + f'(a)\,(b-a) + \frac{f^{”}(a)}{2!}\,(b-a)^2 + \cdots + \frac{f^{({n})}(a)}{n!} \,(b-a)^n+ \cdots$$
ここで \(b = a + x\) とおくと，以下のような，\(x = a\) のまわりのテイラー展開が得られる。
$$f(a+x) = f(a) + f'(a)\,x + \frac{f^{”}(a)}{2!}\,x^2 + \cdots + \frac{f^{({n})}(a)}{n!} \,x^n+ \cdots$$
私自身は，上記のように \(a\) から少し離れた \(a + x\) における値 \(f(a+x)\) を \(a\) のまわりのテイラー展開で表すという書き方を好むが，テキストによっては，\(b = x\) とおいて以下の表記をテイラー展開とするものも多いので，併記しておく。
$$f(x) = f(a) + f'(a)\,(x-a) + \frac{f^{”}(a)}{2!}\,(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{({n})}(a)}{n!} \,(x-a)^n+ \cdots$$
マクローリン展開
特に，\(a = 0\) つまり \(x = 0\) のまわりのテイラー展開は，しばしばマクローリン展開と呼ばれ，以下のようになる。
$$f(x) = f(0) + f'(0)\,x + \frac{f^{”}(0)}{2!}\,x^2 + \cdots + \frac{f^{({n})}(0)}{n!} \,x^n+ \cdots$$
テイラー展開の例
$f(x) = (1 + x)^p$ のテイラー展開
\(f(x) = (1+x)^p\) というべき関数（「と言うべき」関数，ではなくて「という」冪（べき）関数）の場合，\(f'(x) = p (1+x)^{p-1}\) であるから \(x = 0\) のまわりのテイラー展開は
\begin{eqnarray}
f(x) &=& f(0) + f'(0)\, x + \cdots \\
&=& 1 + p\, x + \cdots
\end{eqnarray}
たとえば $p=2$ の場合は
$$(1 + x)^2 = 1 + 2 x + \cdots$$
となるが，これは展開式 $(1 + x)^2 = 1 + 2 x + x^2$ の $x^2$ の項を省略した形になっているし，$p= -1$ の場合は
$$(1 + x)^{-1} = \frac{1}{1 + x} = 1 -x + \cdots$$ となる。
これは簡単な公式として，脊髄反射で出てくるように覚えておいてください。こんなの社会に出たら使わないって？そんなことないですよ！（たぶん。）
今後の授業でも，このテイラー展開はいろんなところで使います。例えば，電磁気学なら
など，いろんなところに出てきます。以下の名言（迷言）として覚えておいたらどうでしょうか。
人生の八割がたは，テイラー展開で理解できる。
指数関数のテイラー展開
\(f(x) = e^x\) の場合，\(f^{(n)}(x) = e^x\) であるから \(x = 0\) のまわりのテイラー展開は
\begin{eqnarray}
e^x &=& f(0) + f'(0)\, x + \frac{f^{”}(0)}{2!}\,x^2 + \cdots \\
&=& 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \\
&=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
\end{eqnarray}
ちなみに，この式で \(x = 1\) とおくと
$$ e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$$ となり，この級数展開を使ってネイピア数の近似値を求めることができる。
\begin{eqnarray}
\sum_{n=0}^{3} \frac{1}{n!} = 1+1+\frac{1}{2} + \frac{1}{6}&\simeq& 2.66667 \\
\sum_{n=0}^{5} \frac{1}{n!} = 1 + 1+ \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{120}&\simeq& 2.71667 \\
\sum_{n=0}^{10} \frac{1}{n!} = 1 + 1+ \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{3628800}&\simeq&2.71828
\end{eqnarray}
三角関数のテイラー展開
\(f(x) = \sin x\) の場合の \(x = 0\) のまわりのテイラー展開は
\begin{eqnarray}
\sin x &=& f(0) + f'(0)\, x + \frac{f^{”}(0)}{2!}\,x^2 + \frac{f^{”’}(0)}{3!}\,x^3 +\cdots \\
&=& \sin 0 + \cos 0 \cdot x + \frac{-\sin 0}{2!}\,x^2 + \frac{-\cos 0}{3!}\,x^3 + \cdots \\
&=& x -\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} -\frac{x^7}{7!} + \cdots\\
&=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\,x^{2n+1}
\end{eqnarray}
\(f(x) = \cos x\) の場合の \(x = 0\) のまわりのテイラー展開は
\begin{eqnarray}
\cos x &=& f(0) + f'(0)\, x + \frac{f^{”}(0)}{2!}\,x^2 + \frac{f^{”’}(0)}{3!}\,x^3 +\cdots \\
&=& \cos 0 -\sin 0 \cdot x + \frac{-\cos 0}{2!}\,x^2 + \frac{\sin 0}{3!}\,x^3 + \cdots \\
&=& 1 -\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} -\frac{x^6}{6!} + \cdots\\
&=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\,x^{2n}
\end{eqnarray}
\(\sin x\) は奇関数であることから，\(x\) の奇数乗のべき関数のみの級数展開としてあらわされ，\(\cos x\) は偶関数であることから，\(x\) の偶数乗のべき関数のみの級数展開としてあらわされていることがわかる。
三角関数の極限公式の確認
三角関数の微分を導く際に以下の極限公式を用いた。
$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \quad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0 $$
これらも，\(x=0\) のまわりのテイラー展開を使うと，以下のようにして確認できる。（あくまで確認であって証明ではない。なぜなら，テイラー展開では三角関数の微分を使うが，その微分は上記の極限公式を用いて導かれているから。）
\begin{eqnarray}
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} &=& \lim_{x \rightarrow 0}\frac{ x -{\displaystyle\frac{x^3}{3!}} + O(x^5)}{x} \\
&=& \lim_{x \rightarrow 0}\left\{ 1 -\frac{x^2}{3!} + O(x^4)\right\}\\
&=& 1
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x} &=& \lim_{x \rightarrow 0}\frac{ 1 -\left(1 -{\displaystyle \frac{x^2}{2!}} + O(x^4)\right)}{x} \\
&=& \lim_{x \rightarrow 0}\left\{ \frac{x^2}{2!} + O(x^3)\right\}\\
&=& 0
\end{eqnarray}
ここで，例えば大文字のオーを使った \(O(x^5)\) の表記は，\(x^5\) 以上の高次の項という意味を表す。（なお，テキストによっては小文字のオーを使って \(o(x^4)\) などと書く場合も多いが，これは \(x^4\) よりも高次の項と意味になるらしい。）
ロピタルの定理の確認
\(f(a) = 0, g(a) = 0\) のとき，極限値 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}\) は \(\displaystyle \frac{0}{0}\) 型の不定形に見えるが，以下のようにして極限を求めることができるというのがロピタルの定理であった。
$$\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$
これもテイラー展開を使って，以下のように確認することができる。（証明というわけではない，念のため。）
\begin{eqnarray}
\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} &=& \lim_{x \rightarrow a}\frac{f(a)+ f'(a) \,(x-a) + \cdots}{g(a)+ g'(a) \,(x-a) + \cdots}\\
&=& \lim_{x \rightarrow a}\frac{ f'(a) \,(x-a) + \cdots}{g'(a) \,(x-a) + \cdots}\\
&=& \lim_{x \rightarrow a}\frac{ f'(a) }{g'(a) }\\
&=& \lim_{x \rightarrow a}\frac{ f'(x) }{g'(x) }
\end{eqnarray}