静磁場：電流密度から直接静磁場を求める

アンペールの法則などを使わずに，ビオ-サバールの法則を使って電流密度から直接静磁場を求める。

ベクトルポテンシャルを使った静磁場の基本方程式

クーロンゲージ条件を課したベクトルポテンシャル $\mathit{A}$ を使うと，静磁場の基本方程式は

$${\mathrm{\nabla }}^2\mathit{A}=-\frac{\mathit{J}}{{\epsilon }_0{c}^2},\mathit{B}=\mathrm{\nabla }\times \mathit{A}$$
のように書けるのであった。特に，

$${\mathrm{\nabla }}^2\mathit{A}=-\frac{\mathit{J}}{{\epsilon }_0{c}^2}$$は「ポアソン方程式」。「方程式の形が同じなら解の形も同じ」という原則により，ただちに解を以下のように求めることができる。（「静電場：ポアソン方程式の解」を参照。）

$$\mathit{A}(\mathit{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iiint \frac{\mathit{J}({\mathit{r}}^{\prime })}{|\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\prime }|}d{V}^{\prime }$$

ビオ – サバールの法則

電流密度 $\mathit{J}$ から直接磁束密度 $\mathit{B}$ を求める式。

$$\begin{array}{rcl}\mathit{B}(\mathit{r})=\mathrm{\nabla }\times \mathit{A}(\mathit{r})& =& \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iiint \frac{\mathit{J}({\mathit{r}}^{\prime })\times (\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\prime })}{|\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\prime }{|}^3}d{V}^{\prime }\end{array}$$

これが，ビオ・サバールの法則である。ここでは念のため，

$$\mathrm{\nabla }\times \frac{\mathit{J}({\mathit{r}}^{\prime })}{|\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\prime }|}=\frac{\mathit{J}({\mathit{r}}^{\prime })\times (\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\prime })}{|\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\prime }{|}^3}$$

となることを示しておく。

$x$ 成分を計算すると

$$\begin{array}{rcl}{(\mathrm{\nabla }\times \frac{\mathit{J}({\mathit{r}}^{\prime })}{|\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\prime }|})}_x& =& \frac{\partial }{\partial y}\frac{J_z({\mathit{r}}^{\prime })}{|\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\prime }|}-\frac{\partial }{\partial z}\frac{J_y({\mathit{r}}^{\prime })}{|\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\prime }|}\\ & =& J_z({\mathit{r}}^{\prime })\frac{\partial }{\partial y}\frac{1}{|\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\prime }|}-J_y({\mathit{r}}^{\prime })\frac{\partial }{\partial z}\frac{1}{|\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\prime }|}\\ & =& J_z({\mathit{r}}^{\prime })\frac{-(y-y^{\prime })}{|\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\prime }{|}^3}-J_y({\mathit{r}}^{\prime })\frac{-(z-z^{\prime })}{|\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\prime }{|}^3}\\ & =& J_y({\mathit{r}}^{\prime })\frac{(z-z^{\prime })}{|\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\prime }{|}^3}-J_z({\mathit{r}}^{\prime })\frac{(y-y^{\prime })}{|\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\prime }{|}^3}\\ & =& {\left(\frac{\mathit{J}({\mathit{r}}^{\prime })\times (\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\prime })}{|\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\prime }{|}^3}\right)}_x\end{array}$$

$y,z$ 成分も同様。

以下では，ビオ・サバールの法則を使って，いくつかの簡単な場合について電流密度から直接静磁場を計算してみる。

直線電流による磁場

$z$ 軸上の電流 $\mathit{I}=(0,0,I)$ を表す電流密度 $\mathit{J}$ はディラックのデルタ関数を使って以下のように書ける。

$$\mathit{J}=(0,0,J_z)=\mathit{I}\delta (x)\delta (y)=(0,0,I\delta (x)\delta (y))$$

ビオ – サバールの法則の $x$ 成分は

$$\begin{array}{rcl}{B}_x& =& \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iiint \frac{J_y({\mathit{r}}^{\prime })\cdot (z-z^{\prime })-J_z({\mathit{r}}^{\prime })\cdot (y-y^{\prime })}{|\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\prime }{|}^3}d{V}^{\prime }\\ & =& \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iiint \frac{-I\delta (x^{\prime })\delta (y^{\prime })(y-y^{\prime })}{{\{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z-z^{\prime }{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }d{z}^{\prime }\\ & =& \frac{-Iy}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{{\{x^2+y^2+(z-z^{\prime }{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}d{z}^{\prime }\\ & =& \frac{-Iy}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\frac{2}{x^2+y^2}\\ & =& \frac{1}{2\pi {\epsilon }_0{c}^2}\frac{(\mathit{I}\times \mathit{\varrho }{)}_x}{{\varrho }^2}\end{array}$$
ここで，$\mathit{I}=(0,0,I),\mathit{\varrho }=(x,y,0),{\varrho }^2=\mathit{\varrho }\cdot \mathit{\varrho }$ とした。（$\rho$ は電荷密度で使うため。）また，ベクトルの外積 $\mathit{I}\times \mathit{\varrho }$ は

$$\begin{array}{rcl}\mathit{I}\times \mathit{\varrho }& =& (I_y{\varrho }_z-I_z{\varrho }_y,I_z{\varrho }_x-I_x{\varrho }_z,I_x{\varrho }_y-I_y{\varrho }_x)\\ & =& (-Iy,Ix,0)\end{array}$$

また，デルタ関数を含む積分では
$$\iint f(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })\delta (x^{\prime })\delta (y^{\prime })d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }=f(0,0,z^{\prime })$$
となることを利用している。また，以下の積分結果も使った。

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{{\{x^2+y^2+(z-z^{\prime }{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}d{z}^{\prime }=\frac{2}{x^2+y^2}$$

$y$ 成分は

$$\begin{array}{rcl}{B}_y& =& \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iiint \frac{J_z({\mathit{r}}^{\prime })\cdot (x-x^{\prime })-J_x({\mathit{r}}^{\prime })\cdot (z-z^{\prime })}{|\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\prime }{|}^3}d{V}^{\prime }\\ & =& \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iiint \frac{I\delta (x^{\prime })\delta (y^{\prime })(x-x^{\prime })}{{\{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z-z^{\prime }{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }d{z}^{\prime }\\ & =& \frac{Ix}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{{\{x^2+y^2+(z-z^{\prime }{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}d{z}^{\prime }\\ & =& \frac{Ix}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\frac{2}{x^2+y^2}\\ & =& \frac{1}{2\pi {\epsilon }_0{c}^2}\frac{(\mathit{I}\times \mathit{\varrho }{)}_y}{{\varrho }^2}\end{array}$$

$z$ 成分は

$$\begin{array}{rcl}{B}_z& =& \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iiint \frac{J_x({\mathit{r}}^{\prime })\cdot (y-y^{\prime })-J_y({\mathit{r}}^{\prime })\cdot (x-x^{\prime })}{|\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\prime }{|}^3}d{V}^{\prime }\\ & =& \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iiint \frac{0\cdot (y-y^{\prime })-0\cdot (x-x^{\prime })}{|\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\prime }{|}^3}d{V}^{\prime }\\ & =& 0\end{array}$$

ちなみに，$(\mathit{I}\times \mathit{\varrho }{)}_z=0$  だから

$$\begin{array}{rcl}{B}_z& =& \frac{1}{2\pi {\epsilon }_0{c}^2}\frac{(\mathit{I}\times \mathit{\varrho }{)}_z}{{\varrho }^2}\end{array}$$

としてよい。まとめると，

$$\begin{array}{rcl}\mathit{B}& =& \frac{1}{2\pi {\epsilon }_0{c}^2}\frac{\mathit{I}\times \mathit{\varrho }}{{\varrho }^2}\end{array}$$

ここで，$\mathit{I}=(0,0,I),\mathit{\varrho }=(x,y,0)$ であった。

平行2直線電流がつくる磁場

重ね合わせの原理から，

$$\mathit{B}=\frac{1}{2\pi {\epsilon }_0{c}^2}\frac{{\mathit{I}}_1\times (\mathit{\varrho }-{\mathit{r}}_1)}{|\mathit{\varrho }-{\mathit{r}}_1{|}^2}+\frac{1}{2\pi {\epsilon }_0{c}^2}\frac{{\mathit{I}}_2\times (\mathit{\varrho }-{\mathit{r}}_2)}{|\mathit{\varrho }-{\mathit{r}}_2{|}^2}$$

電流密度 $\mathit{J}$ が2つの電流密度 ${\mathit{J}}_1,{\mathit{J}}_2$ の重ね合わせ（足し算）で

$$\mathit{J}={\mathit{J}}_1+{\mathit{J}}_2={\mathit{I}}_1\delta (x-x_1)\delta (y-y_1)+{\mathit{I}}_2\delta (x-x_2)\delta (y-y_2)$$

と書けるときに，$\mathit{J}$ によってつくられる磁場 $\mathit{B}$ は，${\mathit{J}}_1,{\mathit{J}}_2$ がそれぞれ独立につくる磁場 ${\mathit{B}}_1,{\mathit{B}}_2$ の重ね合わせ（足し算）で

$$\mathit{B}={\mathit{B}}_1+{\mathit{B}}_2$$

と書けることは明らかであろう。静電場における重ね合わせの原理の説明のところを参照。

円電流による磁場

$xy$ 平面上の原点を中心とした半径 $a$ の円上に電流 $I$ が流れている。これを表す電流密度 $\mathit{J}$ はディラックのデルタ関数を使って以下のように書ける。

$$\begin{array}{rcl}\mathit{J}& =& (J_x,J_y,0)\\ & =& (-I\frac{y}{\varrho }\delta (\varrho -a)\delta (z),I\frac{x}{\varrho }\delta (\varrho -a)\delta (z),0)\\ & =& (-I\sin \varphi \delta (\varrho -a)\delta (z),I\cos \varphi \delta (\varrho -a)\delta (z),0)\\ & & \\ \varrho & =& \sqrt{x^2+y^2}\\ x& =& \varrho \cos \varphi \\ y& =& \varrho \sin \varphi \end{array}$$

念のため，補足説明。

$xy$ 平面上の円電流を表すベクトル $\mathit{I}$ は

$$\mathit{I}=(I_x,I_y,0)$$

と書ける。このベクトルの大きさが電流 $I$ であり，また，円電流ベクトルは原点からの位置ベクトル $\mathit{\varrho }=(\varrho \cos \varphi ,\varrho \sin \varphi ,0)$ と直交するから

$$\begin{array}{rcl}\text{(1)}& I^2& =& \mathit{I}\cdot \mathit{I}=I_x^2+I_y^2\mathit{I}\cdot \mathit{\varrho }& =& I_x\varrho \cos \varphi +I_y\varrho \sin \varphi \\ & =& 0\\ \text{(2)}& \therefore I_x& =& -\frac{\sin \varphi }{\cos \varphi }{I}_y\text{(3)}& \therefore I^2& =& I_y^2\{\frac{{\sin }^2\varphi }{{\cos }^2\varphi }+1\}=\frac{I_y^2}{{\cos }^2\varphi }\end{array}$$

円電流が「反時計回り」に流れるとすると，$\varphi =0$ で $I_y>0$ であるから，$(3)$ 式より

$$I_y=I\cos \varphi ,\therefore I_x=-I\sin \varphi$$

電流ベクトルを使って電流密度ベクトルを表すと

$$\begin{array}{rcl}\mathit{J}& =& (J_x,J_y,0)\\ & =& (I_x\delta (\varrho -a)\delta (z),I_y\delta (\varrho -a)\delta (z),0)\\ & =& (-I\sin \varphi \delta (\varrho -a)\delta (z),I\cos \varphi \delta (\varrho -a)\delta (z),0)\end{array}$$

となる。

これをビオ・サバールの法則に代入すれば磁場が求まる。成分ごとに書くと，$x$ 成分 $B_x$ は

$$\begin{array}{rcl}{B}_x(\mathit{r})& =& \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iiint \frac{J_y({\mathit{r}}^{\prime })\cdot (z-z^{\prime })-J_z({\mathit{r}}^{\prime })\cdot (y-y^{\prime })}{{\{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z-z^{\prime }{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}d{V}^{\prime }\\ & =& \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iiint \frac{I\frac{x^{\prime }}{{\varrho }^{\prime }}\delta ({\varrho }^{\prime }-a)\delta (z^{\prime })(z-z^{\prime })}{{\{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z-z^{\prime }{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }d{z}^{\prime }\\ & =& \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iint \frac{I\frac{x^{\prime }}{{\varrho }^{\prime }}\delta ({\varrho }^{\prime }-a)z}{{\{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+z^2\}}^{\frac{3}{2}}}d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }\end{array}$$

$y$ 成分 $B_y$ は

$$\begin{array}{rcl}{B}_y(\mathit{r})& =& \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iiint \frac{J_z({\mathit{r}}^{\prime })\cdot (x-x^{\prime })-J_x({\mathit{r}}^{\prime })\cdot (z-z^{\prime })}{{\{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z-z^{\prime }{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}d{V}^{\prime }\\ & =& \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iiint \frac{I\frac{y^{\prime }}{{\varrho }^{\prime }}\delta ({\varrho }^{\prime }-a)\delta (z^{\prime })(z-z^{\prime })}{{\{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z-z^{\prime }{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }d{z}^{\prime }\\ & =& \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iint \frac{I\frac{y^{\prime }}{{\varrho }^{\prime }}\delta ({\varrho }^{\prime }-a)z}{{\{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+z^2\}}^{\frac{3}{2}}}d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }\end{array}$$

$z$ 成分 $B_z$ は

$$\begin{array}{rcl}{B}_z(\mathit{r})& =& \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iiint \frac{J_x({\mathit{r}}^{\prime })\cdot (y-y^{\prime })-J_y({\mathit{r}}^{\prime })\cdot (x-x^{\prime })}{{\{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z-z^{\prime }{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}d{V}^{\prime }\\ & =& \frac{-I}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iiint \frac{\{\frac{y^{\prime }}{{\varrho }^{\prime }}(y-y^{\prime })+\frac{x^{\prime }}{{\varrho }^{\prime }}(x-x^{\prime })\}\delta ({\varrho }^{\prime }-a)\delta (z^{\prime })}{{\{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z-z^{\prime }{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }d{z}^{\prime }\\ & =& \frac{-I}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iint \frac{\{\frac{y^{\prime }}{{\varrho }^{\prime }}(y-y^{\prime })+\frac{x^{\prime }}{{\varrho }^{\prime }}(x-x^{\prime })\}\delta ({\varrho }^{\prime }-a)}{{\{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+z^2\}}^{\frac{3}{2}}}d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }\end{array}$$

$y=0$ ($xz$ 平面) での磁場

この円電流は $z$ のまわりに任意の回転を行っても変わらない。つまり，この系は $z$ 軸について軸対称な磁場をつくる。したがって，一般性を失うことなく，$y=0$ の $xz$ 平面上で計算してよい。このとき，

$$\begin{array}{rcl}{B}_x(x,0,z)& =& \frac{I}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iint \frac{\frac{x^{\prime }}{{\varrho }^{\prime }}\delta ({\varrho }^{\prime }-a)z}{{\{(x-x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2+z^2\}}^{\frac{3}{2}}}d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }\\ & =& \frac{I}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iint \frac{z\cos {\varphi }^{\prime }\delta ({\varrho }^{\prime }-a)}{{\{(x-{\varrho }^{\prime }\cos {\varphi }^{\prime }{)}^2+({\varrho }^{\prime }\sin {\varphi }^{\prime }{)}^2+z^2\}}^{\frac{3}{2}}}{\varrho }^{\prime }d{\varrho }^{\prime }d{\varphi }^{\prime }\\ & =& \frac{I}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\int \frac{az\cos {\varphi }^{\prime }}{{\{x^2+z^2+a^2-2ax\cos {\varphi }^{\prime }\}}^{\frac{3}{2}}}d{\varphi }^{\prime }\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}{B}_y(x,0,z)& =& \frac{I}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iint \frac{\frac{y^{\prime }}{{\varrho }^{\prime }}\delta ({\varrho }^{\prime }-a)z}{{\{(x-x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2+z^2\}}^{\frac{3}{2}}}d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }\\ & =& \frac{I}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iint \frac{z\sin {\varphi }^{\prime }\delta ({\varrho }^{\prime }-a)}{{\{(x-{\varrho }^{\prime }\cos {\varphi }^{\prime }{)}^2+({\varrho }^{\prime }\sin {\varphi }^{\prime }{)}^2+z^2\}}^{\frac{3}{2}}}{\varrho }^{\prime }d{\varrho }^{\prime }d{\varphi }^{\prime }\\ & =& \frac{I}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\int \frac{az\sin {\varphi }^{\prime }}{{\{x^2+z^2+a^2-2ax\cos {\varphi }^{\prime }\}}^{\frac{3}{2}}}d{\varphi }^{\prime }\\ & =& \frac{I}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}[-\frac{1}{ax\sqrt{x^2+z^2+a^2-2ax\cos {\varphi }^{\prime }}}{]}_0^{2\pi }\\ & =& 0\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}{B}_z(x,0,z)& =& \frac{-I}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iint \frac{\{\frac{y^{\prime }}{{\varrho }^{\prime }}(-y^{\prime })+\frac{x^{\prime }}{{\varrho }^{\prime }}(x-x^{\prime })\}\delta ({\varrho }^{\prime }-a)}{{\{(x-x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2+z^2\}}^{\frac{3}{2}}}d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }\\ & =& \frac{-I}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iint \frac{\{\sin {\varphi }^{\prime }(-{\varrho }^{\prime }\sin {\varphi }^{\prime })+\cos {\varphi }^{\prime }(x-{\varrho }^{\prime }\cos {\varphi }^{\prime })\}\delta ({\varrho }^{\prime }-a)}{{\{(x-{\varrho }^{\prime }\cos {\varphi }^{\prime }{)}^2+(\varrho \sin {\varphi }^{\prime }{)}^2+z^2\}}^{\frac{3}{2}}}{\varrho }^{\prime }d{\varrho }^{\prime }d{\varphi }^{\prime }\\ & =& \frac{I}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\int \frac{a^2-ax\cos {\varphi }^{\prime }}{{\{x^2+z^2+a^2-2ax\cos {\varphi }^{\prime }\}}^{\frac{3}{2}}}d{\varphi }^{\prime }\end{array}$$

$z$ 軸上での磁場

特に簡単に計算できる $z$ 軸上 $\mathit{r}=(0,0,z)$ の磁場を求めてみると，$B_x$ は

$$\begin{array}{rcl}{B}_x(0,0,z)& =& \frac{I}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\int \frac{az\cos {\varphi }^{\prime }}{{\{z^2+a^2\}}^{\frac{3}{2}}}d{\varphi }^{\prime }\\ & =& 0\\ \\ B_y(0,0,z)& =& 0\\ \\ B_z(0,0,z)& =& \frac{I}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\int \frac{a^2}{{\{z^2+a^2\}}^{\frac{3}{2}}}d{\varphi }^{\prime }\\ & =& \frac{I}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\frac{a^2}{{\{z^2+a^2\}}^{\frac{3}{2}}}\times 2\pi \\ & =& \frac{I{a}^2}{2{\epsilon }_0{c}^2{\{z^2+a^2\}}^{\frac{3}{2}}}\end{array}$$

$z$ 軸上では $B_x=0,B_y=0$ であり，$B_z$ 成分のみが存在することをビオ・サバールの法則から直接計算することができた。

微小な円電流による磁場：磁気双極子

微小な円電流の場合は，円電流の半径 $a$ が非常に小さいとして
$$a^2\ll r^2=x^2+y^2+z^2$$
を仮定し，以下のような近似を行う。（$\delta ({\varrho }^{\prime }-a)$ がかかっているので，${\varrho }^{\prime }=a$ としてよいから，実際には $({\varrho }^{\prime }{)}^2\ll r^2$ としていることになる。）

$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{{\{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+z^2\}}^{\frac{3}{2}}}& =& {\{r^2-2x{x}^{\prime }-2y{y}^{\prime }+({\varrho }^{\prime }{)}^2\}}^{-\frac{3}{2}}\\ & \simeq & {\{r^2-2x{x}^{\prime }-2y{y}^{\prime }\}}^{-\frac{3}{2}}\\ & =& {\left\{r^2(1-2\frac{x{\varrho }^{\prime }\cos {\varphi }^{\prime }+{\varrho }^{\prime }\sin {\varphi }^{\prime }}{r^2})\right\}}^{-\frac{3}{2}}\\ & =& {\left(r^2\right)}^{-\frac{3}{2}}{(1-2\frac{x{\varrho }^{\prime }\cos {\varphi }^{\prime }+{\varrho }^{\prime }\sin {\varphi }^{\prime }}{r^2})}^{-\frac{3}{2}}\\ & \simeq & \frac{1}{r^3}(1+3\frac{x{\varrho }^{\prime }\cos {\varphi }^{\prime }+y{\varrho }^{\prime }\sin {\varphi }^{\prime }}{r^2})\\ & =& \frac{1}{r^3}+3\frac{x{\varrho }^{\prime }\cos {\varphi }^{\prime }+y{\varrho }^{\prime }\sin {\varphi }^{\prime }}{r^5}\end{array}$$

この近似を使うと，円電流がつくる磁場は

$$\begin{array}{rcl}{B}_x(\mathit{r})& =& \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iint \frac{I\frac{x^{\prime }}{{\varrho }^{\prime }}\delta ({\varrho }^{\prime }-a)z}{{\{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+z^2\}}^{\frac{3}{2}}}d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }\\ & \simeq & \frac{Iz}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iint \cos {\varphi }^{\prime }\delta ({\varrho }^{\prime }-a)\{\frac{1}{r^3}+3\frac{x{\varrho }^{\prime }\cos {\varphi }^{\prime }+y{\varrho }^{\prime }\sin {\varphi }^{\prime }}{r^5}\}{\varrho }^{\prime }d{\varrho }^{\prime }d{\varphi }^{\prime }\\ & =& \frac{Iz}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}{\int }_0^{2\pi }\cos {\varphi }^{\prime }\{\frac{1}{r^3}+3\frac{xa\cos {\varphi }^{\prime }+ya\sin {\varphi }^{\prime }}{r^5}\}ad{\varphi }^{\prime }\\ & =& \frac{Iz}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}{\int }_0^{2\pi }3\frac{x{a}^2{\cos }^2{\varphi }^{\prime }}{r^5}d{\varphi }^{\prime }\\ & =& \frac{I\pi a^2}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}3\frac{zx}{r^5}\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}{B}_y(\mathit{r})& =& \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iint \frac{I\frac{y^{\prime }}{{\varrho }^{\prime }}\delta ({\varrho }^{\prime }-a)z}{{\{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+z^2\}}^{\frac{3}{2}}}d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }\\ & \simeq & \frac{Iz}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iint \sin {\varphi }^{\prime }\delta ({\varrho }^{\prime }-a)\{\frac{1}{r^3}+3\frac{x{\varrho }^{\prime }\cos {\varphi }^{\prime }+y{\varrho }^{\prime }\sin {\varphi }^{\prime }}{r^5}\}{\varrho }^{\prime }d{\varrho }^{\prime }d{\varphi }^{\prime }\\ & =& \frac{Iz}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}{\int }_0^{2\pi }\sin {\varphi }^{\prime }\{\frac{1}{r^3}+3\frac{xa\cos {\varphi }^{\prime }+ya\sin {\varphi }^{\prime }}{r^5}\}ad{\varphi }^{\prime }\\ & =& \frac{Iz}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}{\int }_0^{2\pi }3\frac{y{a}^2{\sin }^2{\varphi }^{\prime }}{r^5}d{\varphi }^{\prime }\\ & =& \frac{I\pi a^2}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}3\frac{zy}{r^5}\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}{B}_z(\mathit{r})& =& \frac{-I}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iint \frac{\{\frac{y^{\prime }}{{\varrho }^{\prime }}(y-y^{\prime })+\frac{x^{\prime }}{{\varrho }^{\prime }}(x-x^{\prime })\}\delta ({\varrho }^{\prime }-a)}{{\{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+z^2\}}^{\frac{3}{2}}}d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }\\ & \simeq & \frac{Ia}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}{\int }_0^{2\pi }d{\varphi }^{\prime }(a-x\cos {\varphi }^{\prime }-y\sin {\varphi }^{\prime })\{\frac{1}{r^3}+3\frac{x{\varrho }^{\prime }\cos {\varphi }^{\prime }+y{\varrho }^{\prime }\sin {\varphi }^{\prime }}{r^5}\}\\ & =& \frac{I{a}^2}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}{\int }_0^{2\pi }d{\varphi }^{\prime }\{\frac{1}{r^3}-3\frac{x^2}{r^5}{\cos }^2{\varphi }^{\prime }-3\frac{y^2}{r^5}{\sin }^2{\varphi }^{\prime }\}\\ & =& \frac{I\pi a^2}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\{\frac{2}{r^3}-3\frac{x^2}{r^5}-3\frac{y^2}{r^5}\}\\ & =& \frac{I\pi a^2}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\frac{2(x^2+y^2+z^2)-3x^2-3y^2}{r^5}\\ & =& \frac{I\pi a^2}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\frac{3z^2-(x^2+y^2+z^2)}{r^5}\\ & =& \frac{I\pi a^2}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\{3\frac{z^2}{r^5}-\frac{1}{r^3}\}\end{array}$$

結果をまとめると

$$\begin{array}{rcl}{B}_x& =& \frac{I\pi a^2}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\frac{3}{r^5}zx\\ B_y& =& \frac{I\pi a^2}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\frac{3}{r^5}zy\\ B_z& =& \frac{I\pi a^2}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\{3\frac{z^2}{r^5}-\frac{1}{r^3}\}\end{array}$$

どっかで見たことがある形ですね。そうです，電気双極子がつくる遠方の電場

$$\begin{array}{rcl}\mathit{E}& =& \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\{3\frac{\mathit{r}\cdot \mathit{p}}{r^5}\mathit{r}-\frac{\mathit{p}}{r^3}\}\\ \\ E_x& =& \frac{p}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{3}{r^5}zx\\ E_y& =& \frac{p}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{3}{r^5}zy\\ E_z& =& \frac{p}{4\pi {\epsilon }_0}\{\frac{3}{r^5}{z}^2-\frac{1}{r^3}\}\end{array}$$

とそっくりです！

電気双極子モーメントにならって，磁気双極子モーメント $\mathit{\mu }$ を

$$\mathit{\mu }\equiv (0,0,\mu )\equiv (0,0,I\pi a^2)$$

と定義すれば，微小な円電流（面積 $S=\pi a^2$ の円周上を流れる電流 $I$）がつくる遠方の磁場は，磁気双極子モーメント $\mathit{\mu },\mu =|\mathit{\mu }|=IS$ がつくる双極子磁場

$$\mathit{B}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\{3\frac{\mathit{r}\cdot \mathit{\mu }}{r^5}\mathit{r}-\frac{\mathit{\mu }}{r^3}\}$$
である！ということになる。

地球磁場も，大局的に見れば北極を $S$ 極，南極を $N$ 極とする双極子磁場であるが，地球内部に何か棒磁石があるのだと考えるよりは，地球内部に円電流が流れていて，それによって磁場がつくられているのだと理解する。

ソレノイドを流れる電流による磁場

ソレノイドは1本の電線を螺旋状に密に巻いたものである。

$z$ 軸を中心とし，半径 $a$ で単位長さあたり $n$ 回巻きの「十分に長い」ソレノイドを流れる電流 $I$ による磁場を求める。繰り返すがソレノイドは1本の電線を螺旋状に密に巻いたものであるのだが，簡単のために以下では円電流回路の重ね合わせとして扱う。

まず，1回巻きの円電流をあらわす電流密度 $\mathit{J}$ は

$$\begin{array}{rcl}\mathit{J}& =& (J_x,J_y,0)\\ & =& (-I\delta (z)\sin \varphi \delta (\varrho -a),I\delta (z)\cos \varphi \delta (\varrho -a),0)\end{array}$$

であったから，単位長さあたり $n$ 回巻きの十分に長いソレノイドの場合は，上記の表式で

$$I\delta (z)\to nI$$

と置き換えればよく，ソレノイドを流れる電流密度 $\mathit{J}$ は

$$\begin{array}{rcl}\mathit{J}& =& (J_x,J_y,0)\\ & =& (-nI\sin \varphi \delta (\varrho -a),nI\cos \varphi \delta (\varrho -a),0)\end{array}$$

となる。これをビオ・サバールの法則に代入して，各成分ごとに磁束密度を計算する。

$$\begin{array}{rcl}{B}_x& =& \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iiint \frac{J_y({\mathit{r}}^{\prime })\cdot (z-z^{\prime })-J_z({\mathit{r}}^{\prime })\cdot (y-y^{\prime })}{{\{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z-z^{\prime }{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}d{V}^{\prime }\\ & =& \frac{nI}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iint d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}d{z}^{\prime }\frac{\cos {\varphi }^{\prime }\delta ({\varrho }^{\prime }-a)\cdot (z-z^{\prime })}{{\{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z-z^{\prime }{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}\\ & =& \frac{nI}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iint d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }\cos {\varphi }^{\prime }\delta ({\varrho }^{\prime }-a){\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{(z-z^{\prime })d{z}^{\prime }}{{\{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z-z^{\prime }{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}\\ & =& 0\end{array}$$

同様にして

$$\begin{array}{rcl}{B}_y& =& \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iiint \frac{J_z({\mathit{r}}^{\prime })\cdot (x-x^{\prime })-J_x({\mathit{r}}^{\prime })\cdot (z-z^{\prime })}{{\{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z-z^{\prime }{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}d{V}^{\prime }\\ & =& \frac{-nI}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iint d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}d{z}^{\prime }\frac{\sin {\varphi }^{\prime }\delta ({\varrho }^{\prime }-a)\cdot (z-z^{\prime })}{{\{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z-z^{\prime }{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}\\ & =& \frac{-nI}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iint d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }\sin {\varphi }^{\prime }\delta ({\varrho }^{\prime }-a){\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{(z-z^{\prime })d{z}^{\prime }}{{\{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z-z^{\prime }{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}\\ & =& 0\end{array}$$

ソレノイドの内部・外部によらず，$B_x=0,B_y=0$ であることがビオ・サバールの法則から直接計算できた。

最後に，$B_z$ は

$$\begin{array}{rcl}{B}_z& =& \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iiint \frac{J_x({\mathit{r}}^{\prime })\cdot (y-y^{\prime })-J_y({\mathit{r}}^{\prime })\cdot (x-x^{\prime })}{{\{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z-z^{\prime }{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}d{V}^{\prime }\\ & =& \frac{nI}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iint d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}d{z}^{\prime }\frac{\{\frac{y^{\prime }}{{\varrho }^{\prime }}(y^{\prime }-y)+\frac{x^{\prime }}{{\varrho }^{\prime }}(x^{\prime }-x)\}\delta ({\varrho }^{\prime }-a)}{{\{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z-z^{\prime }{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}\\ & =& \frac{nI}{2\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iint d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }\frac{\{\frac{y^{\prime }}{{\varrho }^{\prime }}(y^{\prime }-y)+\frac{x^{\prime }}{{\varrho }^{\prime }}(x^{\prime }-x)\}\delta ({\varrho }^{\prime }-a)}{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2}\\ & =& \frac{nI}{2\pi {\epsilon }_0{c}^2}\iint {\varrho }^{\prime }d{\varrho }^{\prime }d{\varphi }^{\prime }\frac{\{{\varrho }^{\prime }-y\sin {\varphi }^{\prime }-x\cos {\varphi }^{\prime }\}\delta ({\varrho }^{\prime }-a)}{(x-{\varrho }^{\prime }\cos {\varphi }^{\prime }{)}^2+(y-{\varrho }^{\prime }\sin {\varphi }^{\prime }{)}^2}\\ & =& \frac{nI}{2\pi {\epsilon }_0{c}^2}\int d{\varphi }^{\prime }\frac{a^2-ay\sin {\varphi }^{\prime }-ax\cos {\varphi }^{\prime }}{(x-a\cos {\varphi }^{\prime }{)}^2+(y-a\sin {\varphi }^{\prime }{)}^2}\\ & =& \frac{nI}{2\pi {\epsilon }_0{c}^2}{\int }_0^{2\pi }d{\varphi }^{\prime }\frac{a^2-ay\sin {\varphi }^{\prime }-ax\cos {\varphi }^{\prime }}{x^2+y^2+a^2-2ax\cos {\varphi }^{\prime }-2ay\sin {\varphi }^{\prime }}\\ \\ & =& \{\begin{array}{ll}\frac{nI}{{\epsilon }_0{c}^2}& (\sqrt{x^2+y^2}<a)\\ \\ 0& (\sqrt{x^2+y^2}>a)\end{array}\end{array}$$

ここで，以下の積分結果を使った。

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{2\pi }d{\varphi }^{\prime }\frac{a^2-ay\sin {\varphi }^{\prime }-ax\cos {\varphi }^{\prime }}{x^2+y^2+a^2-2ax\cos {\varphi }^{\prime }-2ay\sin {\varphi }^{\prime }}& =& \{\begin{array}{ll}2\pi & (\sqrt{x^2+y^2}<a)\\ \\ 0& (a<\sqrt{x^2+y^2}>a)\end{array}\end{array}$$

つまり，$z$ 軸からの距離 $\sqrt{x^2+y^2}$ がソレノイドの半径 $a$ よりも小さいソレノイドの内部 ($\sqrt{x^2+y^2}<a$) では ${\displaystyle B_z=\frac{nI}{{\epsilon }_0{c}^2}}$ という一定の磁場が，$z$ 軸からの距離 $\sqrt{x^2+y^2}$ がソレノイドの半径 $a$ よりも大きいソレノイドの外部 ($\sqrt{x^2+y^2}>a$) では $B_z=0$ となることが，ビオ・サバールの法則から直接得ることができた。