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電磁場のエネルギー密度とポインティングベクトル

真空の場合のマクスウェル方程式

簡単のために真空($\rho = 0, \ \boldsymbol{J} = \boldsymbol{0}$)の場合で説明する。マクスウェル方程式は,$ \boldsymbol{D} = \varepsilon_0 \boldsymbol{E}, \  \boldsymbol{H} = \varepsilon_0 c^2 \boldsymbol{B}$ を使って $\boldsymbol{E}$ と $\boldsymbol{B}$ であらわすと,

\begin{eqnarray}\nabla\cdot \boldsymbol{E} &=& 0  \tag{1}\\
\nabla\cdot\boldsymbol{B} &=& 0  \tag{2}\\
\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} &=& – \nabla\times\boldsymbol{E}   \tag{3}\\
\frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} &=&c^2 \nabla\times\boldsymbol{B} \tag{4}
\end{eqnarray}

$(3)$ 式と $(4)$ 式から

\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial t} \left\{\frac{1}{2} \varepsilon_0 \boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{E} + \frac{1}{2} \varepsilon_0 c^2 \boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{B} \right\}
&=&
\varepsilon_0 \boldsymbol{E}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} + \varepsilon_0 c^2 \boldsymbol{B}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \\
&=& \varepsilon_0 \boldsymbol{E}\cdot\left(c^2 \nabla\times\boldsymbol{B} \right) + \varepsilon_0 c^2 \boldsymbol{B}\cdot\left( – \nabla\times\boldsymbol{E} \right) \\
&=& – \varepsilon_0 c^2 \left\{ \left( \nabla\times\boldsymbol{E} \right)\cdot\boldsymbol{B} – \boldsymbol{E} \cdot \left( \nabla\times\boldsymbol{B} \right) \right\} \\
&=& – \varepsilon_0 c^2 \nabla\cdot \left(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B} \right)
\end{eqnarray}

(最後の行になるのはこのへんを参照。)

連続の式:エネルギー保存則

あらためて

\begin{eqnarray}
U &\equiv&  \frac{1}{2} \varepsilon_0 \boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{E} + \frac{1}{2} \varepsilon_0 c^2 \boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{B} \\
&=& \frac{1}{2}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{D} + \frac{1}{2} \boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}\\
\boldsymbol{S} &\equiv& \varepsilon_0 c^2\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B} \\
&=& \boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}
\end{eqnarray}

と定義すれば,

$$\frac{\partial U}{\partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{S} = 0$$

という連続の式が出てくる。別ページ「参考:電荷の保存則」で説明したように,連続の式というのは保存則の微分形である。

これはすなわち,$U$ が電磁場のエネルギー密度,$\boldsymbol{S}$ が電磁場のエネルギー流束をあらわすことを意味する。電磁場自体がもつエネルギーの流れをあらわすベクトル $\boldsymbol{S}$ はポインティングベクトルと呼ばれる。

いきなり,$\displaystyle U = \frac{1}{2}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{D} + \frac{1}{2} \boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}$ が電磁場のエネルギー密度だと言われても唐突で困るだろうから,以下ではまず,静電場の場合に,$\displaystyle U = \frac{1}{2}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{D}$ が確かに静電場のエネルギー密度になっていることを確かめてみる。

静電場のエネルギー

2個の荷電粒子の静電ポテンシャルエネルギー

位置 $\boldsymbol{r}_1$ に電荷 $q_1$,位置 $\boldsymbol{r}_2$ に電荷 $q_2$。この1対の荷電粒子の静電ポテンシャルエネルギーは

$$U_{12} = \frac{q_1 q_2}{4\pi \varepsilon_0 |\boldsymbol{r}_1 – \boldsymbol{r}_2|}$$

$n$ 個の荷電粒子の静電ポテンシャルエネルギー

荷電粒子が $n$ 個の場合は

\begin{eqnarray}
U &=& \sum_{i=1}^n \sum_{j > i}^n \frac{q_i q_j}{4\pi \varepsilon_0 |\boldsymbol{r}_i – \boldsymbol{r}_j|} \\
&=& \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j \neq i}^n \frac{q_i q_j}{4\pi \varepsilon_0 |\boldsymbol{r}_i – \boldsymbol{r}_j|} \\
&=& \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n q_i \phi(\boldsymbol{r}_i)
\end{eqnarray}

ここで,$$\phi(\boldsymbol{r}_i) = \sum_{j \neq i}^n \frac{q_i q_j}{4\pi \varepsilon_0 |\boldsymbol{r}_i – \boldsymbol{r}_j|}$$
は位置 $\boldsymbol{r}_i$ における静電ポテンシャルであり,係数 $\frac{1}{2}$ はペアを重複カウントするためにつけてある。つまり $U_{12}$ と $U_{21}$ を足し合わせて $\frac{1}{2}$ にするわけである。

連続的な電荷密度の場合の静電ポテンシャルエネルギー

連続的な電荷分布 \(\rho(\boldsymbol{r})\) の場合は,以下のような置き換えをする。
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{r}_i &\rightarrow& \boldsymbol{r} \\
q_i &\rightarrow& \rho(\boldsymbol{r}_i ) dV_i\\
\sum_{i} dV_i&\rightarrow& \iiint \, dV
\end{eqnarray}

また,$\nabla\cdot\boldsymbol{D}=\rho, \ \boldsymbol{E} = – \nabla\phi$ も使って

\begin{eqnarray}
U &=& \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n q_i \phi(\boldsymbol{r}_i) \\
&\rightarrow& \frac{1}{2} \iiint_V \rho \,\phi\, dV\\
&=& \frac{1}{2} \iiint_V \left(\nabla\cdot\boldsymbol{D}\right)\,\phi\, dV \\
&=& \frac{1}{2}\iiint_V \nabla\cdot\left( \phi\,\boldsymbol{D}\right)\,dV
– \frac{1}{2}\iiint_V \left(\nabla\phi\right)\cdot\boldsymbol{D} \, dV \\
&=& \frac{1}{2} \iint_S \left(\phi\boldsymbol{D} \right)\cdot\boldsymbol{n} \,dS
+ \frac{1}{2}\iiint_V \boldsymbol{E}\cdot \boldsymbol{D}\, dV
\end{eqnarray}

ここで,ガウスの定理によって変形した表面積分の項 $\displaystyle \frac{1}{2} \iint \left(\phi \boldsymbol{D} \right)\cdot\boldsymbol{n} \,dS$ は十分大きい領域を考えればゼロになるとしてよい。よって,

$$U = \frac{1}{2}\iiint \boldsymbol{E}\cdot \boldsymbol{D}\, dV $$

これはつまり,$\displaystyle U = \frac{1}{2} \boldsymbol{E}\cdot \boldsymbol{D}$ が静電場の場合のエネルギー密度をあらわしていることを意味する。

もともとの $\displaystyle \frac{1}{2} \rho \,\phi$ は静電場の場合にしか使えないエネルギー密度の表記であったが,$\displaystyle U = \frac{1}{2} \boldsymbol{E}\cdot \boldsymbol{D}$,さらには

$$ U = \frac{1}{2}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{D} + \frac{1}{2} \boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}$$

は静電場に限らず,また磁場が存在する場合にも一般に成り立つ電磁場のエネルギー密度の式になっている… ということで納得していただけましたか?

補足:ベクトルの微分公式

以下のようなベクトルの微分の公式を使っている。(右辺から左辺を引いてゼロになることを直接示せる。こことかこことかを参照。)

$$\nabla\cdot\left( \boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}\right)
= \left(\nabla\times\boldsymbol{E} \right)\cdot\boldsymbol{B}
– \boldsymbol{E}\cdot\left(\nabla\times\boldsymbol{B} \right)$$

$$\nabla\cdot\left( \phi\,\boldsymbol{D}\right) = \left(\nabla\phi\right)\cdot\boldsymbol{D} +\left(\nabla\cdot\boldsymbol{D}\right)\,\phi$$