ガウスの定理
$$ \iiint_V \nabla\cdot \boldsymbol{a}\ dV = \iint_S \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n}\ dS$$
ここで，\(S\) は体積 \(V\) の立体を囲む閉曲面，\(dS\) はその表面の微小面積部分，\(\boldsymbol{n}\) は微小面積 \(dS\) に垂直な単位ベクトル（向きは立体の外側を向く）。
図のように，それぞれの辺の長さが \(\varDelta x, \varDelta y, \varDelta z\) である微小直方体を考え，この体積を囲む面からのベクトル \(\boldsymbol{a}\) の流束（ \(\boldsymbol{a}\) の面に垂直な成分の面積分，微小面積の場合は単に「垂直成分」かける「面積」）を計算する。
まず，面②から出る流束は $$(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n})_2\, \varDelta S_2 = a_z(\varDelta z) \varDelta x\, \varDelta y = \left\{a_z(0) + \frac{\partial a_z}{\partial z} \varDelta z \right\} \varDelta x \,\varDelta y$$
同様にして，面①から出る流束は $$(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n})_1\, \varDelta S_1 = -a_z(0) \,\varDelta x\, \varDelta y $$ ここでマイナスがつくのは，\(\boldsymbol{n}\) が立体の表面外向きのベクトルであるから。
\(z\) 軸に直交するこの二つの面の流束を足すと，$z$ 方向の正味の流速 $(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n})_z\, \varDelta S_z$ は
\begin{eqnarray}
(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n})_z\, \varDelta S_z &=& (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n})_1\, \varDelta S_1 + (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n})_2\, \varDelta S_2 \\
&=& \frac{\partial a_z}{\partial z}\ \varDelta x\, \varDelta y\, \varDelta z
\end{eqnarray}
ここで $z$ 軸に垂直な微小面積として $\varDelta S_z \equiv \varDelta x\, \varDelta y$ と定義した。
$x$ 方向，$y$ 方向，$z$ 方向の6面全部を考えると，この微小直方体から出る流束の和は，
\begin{eqnarray}
(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n}) \,\varDelta S
&=&
(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n})_x \,\varDelta S_x
+ (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n})_y \,\varDelta S_y
+ (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n})_z \,\varDelta S_z \\
&=& \left( \frac{\partial a_x}{\partial x} + \frac{\partial a_y}{\partial y} + \frac{\partial a_z}{\partial z} \right) \ \varDelta x\, \varDelta y\, \varDelta z \\
&=& \nabla\cdot\boldsymbol{a} \ \varDelta V \\ \ \\
\therefore\ \ (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n}) \,\varDelta S &=& \nabla\cdot\boldsymbol{a} \ \varDelta V
\end{eqnarray}
これが，微小直方体 $\varDelta V$ を囲む微小閉曲面 $\varDelta S$ から出る流速 $(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n}) \,\varDelta S$ と，$\varDelta V$ 内のベクトル $\boldsymbol{a}$ の発散との間の関係である。
有限の体積 \(V\) の立体とそれを囲む表面 \(S\) については，それらを構成している微小要素の総和を取ることになるが，無限小連続極限では $\displaystyle \sum_i\, \varDelta S_i \Rightarrow \iint_S \,dS, \ \sum_i\, \varDelta V_i \Rightarrow \iiint_V \, dV$ となることから
\begin{eqnarray}
\sum_i \left\{(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n}) \,\varDelta S\right\}_i &=& \sum_i \left\{\nabla\cdot\boldsymbol{a} \,\varDelta V\right\}_i \\
&\Downarrow & \\
\iint_S \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n}\ dS &=& \iiint_V \nabla\cdot\boldsymbol{a} \ dV
\end{eqnarray}