ベクトル場（含スカラー場）の2階偏微分の恒等式 $\nabla \times (\nabla\psi) = \boldsymbol{0}$ と $\nabla\cdot (\nabla\times \boldsymbol{a}) = 0$ の面積分や体積積分について，あらためてまとめておく。
$\nabla \times (\nabla\psi)$ の面積分
恒等式 $\nabla \times (\nabla\psi)=\boldsymbol{0}$ の左辺を，閉曲線 $C$ を縁とする任意の曲面 $S$ で面積分すると，ストークスの定理から
\begin{eqnarray}
\iint_S \bigl( \nabla \times (\nabla\psi)\bigr)\cdot\boldsymbol{n}\, dS
&=& \oint_C\ (\nabla\psi)\cdot d\boldsymbol{r} \\
&=& \oint_C\ d\psi \\
&=& \int_{\boldsymbol{r}_1}^{\boldsymbol{r}_1}\ d\psi \\
&=& \bigl[ \psi\bigr]_{\boldsymbol{r}_1}^{\boldsymbol{r}_1} \\
&=& \psi(\boldsymbol{r}_1) -\psi(\boldsymbol{r}_1) \\
&=& 0
\end{eqnarray}
一方，恒等式 $\nabla \times (\nabla\psi)=\boldsymbol{0}$ の右辺の面積分は
\begin{eqnarray}
\iint_S \boldsymbol{0}\cdot\boldsymbol{n}\, dS
&=& 0
\end{eqnarray}
であるから，確かに左辺の面積分と右辺の面積分が等しいことが簡単にわかる。この場合には何の混乱もない。
$\nabla\cdot (\nabla\times \boldsymbol{a}) $ の体積積分：混乱？
恒等式 $\nabla\cdot (\nabla\times \boldsymbol{a}) = 0$ の左辺を，閉曲面 $S$ で囲まれた体積 $V$ で体積積分すると，ガウスの定理と，さらにストークスの定理から（字面だけをみる限りでは）
\begin{eqnarray}
\iiint_V\ \nabla\cdot (\nabla\times \boldsymbol{a})\ dV &=& \iint_S\ (\nabla\times \boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{n}\ dS \qquad\mbox{(ガウスの定理から)}\\
&=& \oint_C\ \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{r}\qquad\qquad\qquad\mbox{(ストークスの定理から？)}
\end{eqnarray}
と書けるように思える。一方，恒等式 $\nabla\cdot (\nabla\times \boldsymbol{a}) = 0$ の右辺の体積成分は直ちに
\begin{eqnarray}
\iiint_V\ 0\ dV &=& 0
\end{eqnarray}
であるから，一見，任意のベクトル場 $\boldsymbol{a}$ に対して
\begin{eqnarray}
\oint_C\ \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{r} &=& 0
\end{eqnarray}
となってしまうように見える。ちょっと混乱しそうだ。いったいこれは正しいのであろうか？
混乱の正し方
上記の計算で問題となるのは閉曲面 $S$ 上の面積分に対して（字面だけをみて）ストークスの定理を使って変形するところである。
そもそもストークスの定理とは，閉曲線 $C$ を境界・縁とする開曲面 $S$ 上の面積分について適用されるものであったはずである。しかし，いったんガウスの定理を使って体積積分から面積分に変形したとき，$S$ は体積 $V$ を囲む閉曲面となっている。閉曲面 $S$ とは境界・縁がないのであるから，閉曲面 $S$ の境界・縁となる閉曲線 $C$ は無い。あえて言えば，閉曲面 $S$ の境界・縁となる $C$ は長さゼロの閉曲線，とでも言うべきか。
このような混乱を避けるために，面積分の表記を区別するべきだというのが私の主張である。
一般に，閉曲線 $C$ を縁とする開曲面 $S$ 上の面積分については通常の $\displaystyle \iint_S$ を使って
$${\color{blue}\iint_S}\ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n}\ dS$$
のように書く。開曲面 $S$ 上の面積分については，ストークスの定理が成り立ち，
$${\color{blue}\iint_{S}} \ (\nabla\times \boldsymbol{a})\cdot \boldsymbol{n}\ dS = \oint_{C}\ \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{r}$$
次に，閉曲面 $S$ 上の面積分は $\displaystyle \color{red}\int\!\!\!\!\!\!\bigcirc\!\!\!\!\!\!\int_{S}$ を使って
$${\displaystyle \color{red}\int\!\!\!\!\!\!\bigcirc\!\!\!\!\!\!\int_{S}}\ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n}\ dS$$
のように書く。閉曲面 $S$ 上の面積分はガウスの定理に表れ，
$$\iiint_V \nabla\cdot \boldsymbol{a}\, dV = {\color{red}\int\!\!\!\!\!\!\bigcirc\!\!\!\!\!\!\int_{S}}\ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n} \ dS$$
閉曲面 $S$ には境界・縁が存在しないため，縁となる 閉曲線 $C$の存在を前提とするストークスの定理は適用できない。
$$ {\color{red}\int\!\!\!\!\!\!\bigcirc\!\!\!\!\!\!\int_{S}} \ (\nabla\times \boldsymbol{a})\cdot \boldsymbol{n}\ dS \ {\color{red}\neq} \oint_{C}\ \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{r}$$
強いて言えば，長さゼロの閉曲線 $C$ 上の線積分であるからゼロ，
$$ {\color{red}\int\!\!\!\!\!\!\bigcirc\!\!\!\!\!\!\int_{S}} \ (\nabla\times \boldsymbol{a})\cdot \boldsymbol{n}\ dS =0$$
とでもすればよいだろう。
こうすると，$\nabla\cdot (\nabla\times \boldsymbol{a}) $ の体積積分は以下のようになり，
\begin{eqnarray}
\iiint_V\ \nabla\cdot (\nabla\times \boldsymbol{a})\ dV
&=& {\color{red}\int\!\!\!\!\!\!\bigcirc\!\!\!\!\!\!\int_{S}}\ (\nabla\times \boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{n}\ dS \\
&=& 0
\end{eqnarray}
混乱は無くなると思うのであるが，いかがでしょうか。
おさらいとしての練習問題
以上の話を練習問題としてまとめてみた。
1. 勾配の1周線積分
任意のスカラー場（空間座標の関数であるスカラー関数） $\psi(\boldsymbol{r})$ の勾配 $\nabla \psi$ について，以下を示せ。
$$\oint_C\ (\nabla \psi)\cdot d\boldsymbol{r} = 0$$
ここで $C$ は任意の閉曲線である。
2. 回転の垂直成分の閉曲面積分
任意のベクトル場（各成分が空間座標の関数であるベクトル） $\boldsymbol{a}$ の回転 $\nabla\times\boldsymbol{a}$ について，以下を示せ。
$$\iint_S\ (\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{n}\, dS = 0$$
ここで，$S$ は任意の閉曲面であり，$\boldsymbol{n}$ は閉曲面 $S$ に垂直な単にベクトルである。
練習問題の解答例
1. については，ストークスの定理を使って面積分にして…
\begin{eqnarray}
\oint_C\ (\nabla \psi)\cdot d\boldsymbol{r} &=&
\iint_S \bigl( \nabla \times (\nabla\psi)\bigr)\cdot\boldsymbol{n}\, dS\\
&=& \iint_S \boldsymbol{0}\cdot\boldsymbol{n}\, dS \\
&=& 0
\end{eqnarray}
ここで $S$ は閉曲線 $C$ を境界とする曲面であり，ベクトル解析の恒等式 $\nabla \times (\nabla\psi) = \boldsymbol{0}$ を使った。
2. については，思わずストークスの定理を使って…
\begin{eqnarray}
\iint_S\ (\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{n}\, dS &=&
\oint_C \ \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{r} \\
&=& \cdots
\end{eqnarray}
としてしまいそうだが，はて，閉曲面 $S$ の境界となる $C$ はどんな閉曲線となるんだろうか？と悩んでしまうので，ここはガウスの定理を使って体積積分にして…
\begin{eqnarray}
\iint_S\ (\nabla\times\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{n}\, dS &=&
\iiint_V\ \nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{a})\, dV \\
&=& 0
\end{eqnarray}
ここで $V$ は閉曲面 $S$ で囲まれた領域の体積であり，ベクトル解析の恒等式 $\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{a}) = 0$ を使った。