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sin 𝑥, cos 𝑥 の有理関数の積分

例えば,\(\displaystyle \frac{(\sin x)^2}{1 + \cos x + 2 \sin x}\) のような,\(\sin x\) と \(\cos x\) の有理関数の形の関数の積分。

 (万策が尽きたら最後の手段として)\(\displaystyle \tan \frac{x}{2} \equiv t\) という変換をして置換積分すればよい,という手法が知られている。

この置換によって,\(\sin x\),\(\cos x\),\(dx\) が以下のように \(t\) の有理関数となる。

\begin{eqnarray}
\cos^2\frac{x}{2} &=& \frac{1}{1 + \tan^2\frac{x}{2}} = \frac{1}{1+t^2} \\
\sin^2 \frac{x}{2} &=& 1 – \cos^2\frac{x}{2} = \frac{t^2}{1 + t^2}
\end{eqnarray}

なので,これを使って

\begin{eqnarray}
\sin x &=& 2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} = 2 \tan\frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2} \\
&=& \frac{2t}{1+t^2} \\
\cos x &=& \cos^2\frac{x}{2} – \sin^2 \frac{x}{2} = \cos^2\frac{x}{2} \left(1 – \tan^2 \frac{x}{2} \right) \\
&=& \frac{1-t^2}{1+t^2}
\end{eqnarray}

また,

\begin{eqnarray}
dt &=& d \left(\tan \frac{x}{2} \right) \\
&=& \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \frac{dx}{2} \\
\therefore\ \ dx&=& 2 \cos^2 \frac{x}{2} dt \\
&=& \frac{2}{1+t^2} dt
\end{eqnarray}

なので,この手法で置換積分を行うと,答えは最終的には \(\displaystyle t = \tan \frac{x}{2}\) の関数として書かれることになる。

半角 \(\displaystyle\frac{x}{2}\) ではなく,\(x\) を引数とする三角関数で描き直したいなぁという要望がある場合には,例えば以下の式を使ってみたらどうだろう。

\begin{eqnarray}
t = \tan\frac{x}{2} &=& \frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}} \\
&=& \frac{2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}}{2 \cos^2\frac{x}{2}} \\
&=& \frac{\sin x}{1 + \cos x} \\
&=& \frac{ 1  – \cos x}{\sin x}
\end{eqnarray}

例:

$\displaystyle \int \frac{1}{\cos x} \,dx$

万策つきて,$\tan \frac{x}{2} = t$ を使うしかないかな,と思うと

\begin{eqnarray}
\cos x &=& \frac{1-t^2}{1+t^2} \\
dx &=& \frac{2}{1+t^2} dt \\
\therefore\ \ \int \frac{1}{\cos x} \,dx &=& \int \frac{1+t^2}{1-t^2}\, \frac{2}{1+t^2} \,dt \\
&=& 2 \int \frac{1}{1-t^2}\, dt \\
&=& \int\left(\frac{1}{1-t} + \frac{1}{1+t} \right)\, dt \\
&=& \log |1 + t| – \log |1-t| + C \\
&=& \log\left| \frac{1+t}{1-t}\right| + C \\
&=& \log\left| \frac{1+\tan\frac{x}{2}}{1-\tan\frac{x}{2}}\right| + C \tag{1}
\end{eqnarray}

となる。しかし,少し考えると

\begin{eqnarray}
\int \frac{1}{\cos x} \,dx &=& \int \frac{\cos x}{\cos^2 x} \,dx \\
&=& \int \frac{\cos x}{1-\sin^2 x} \,dx
\end{eqnarray}

であるから,$u \equiv \sin x, \ du = \cos x \, dx$ の置換積分でできる。

\begin{eqnarray}
\int \frac{1}{\cos x} \,dx &=& \int \frac{\cos x}{1-\sin^2 x} \,dx \\
&=& \int \frac{1}{1-u^2} \, du \\
&=& \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{1-u} + \frac{1}{1+u}\right) \,du \\
&=& \frac{1}{2}  \log\left| \frac{1+u}{1-u}\right| + C \\
&=& \frac{1}{2}  \log\left| \frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right| + C \tag{2}
\end{eqnarray}

今度は,$(1)$ 式と $(2)$ 式は果たして同じことを言っているのだろうか?という疑問が出てくるだろう。同じであることを示してみてください。

メモ

\begin{eqnarray}
\tan\frac{x}{2} &\equiv& t\\
\sin x &=& \frac{2 t}{1 + t^2} \\
\cos x &=& \frac{1 = t^2}{1 + t^2}
\end{eqnarray}

これらを $x$ について解くと

$$x = 2 \tan^{-1} t = \sin^{-1} \frac{2t}{1+t^2} = \cos^{-1} \frac{1 – t^2}{1+t^2}$$

この関係は,宇宙論的距離のところでも以外に活用されていたりしますので,メモ。