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広義の積分

\(\displaystyle \int_a^b f(x) \,dx\) において,被積分関数 \(f(x)\) が \([a, b]\) で有界でなかったり連続でなかったりする場合や,\(a \rightarrow -\infty\) あるいは \(b \rightarrow \infty\) のような無限積分の場合

\(\displaystyle \int_a^b f(x) \,dx\) において,被積分関数 \(f(x)\) が例えば \(x = a\) で有界ではなかったり,連続ではなかったりする場合。

たとえば, \(\displaystyle f(x) = x^{-p} = \frac{1}{x^p}, \ 0 < p < 1\) の場合。\(x = 0\) で \(f(x)\) の分母がゼロになるので,困ってしまいそうになるが,\(1 – p > 0\) であるから,\(0^{1-p}= 0\) なので

\begin{eqnarray}
\int_0^2 f(x) dx &=& \int_0^2 x^{-p}\,dx \\
&=& \frac{1}{1-p} \left[ f^{1-p} \right]_0^2 \\
&=& \frac{2^{1-p} – 0^{1-p}}{1-p} \\
&=& \frac{2^{1-p} }{1-p}
\end{eqnarray}

となり,普通に定積分できる。被積分関数 \(f(x)\) が \(x = 0\) で有界(有限の値を持つこと)でなくても,原始関数 \(\displaystyle F(x) = \int^x f(u)\, du\) が \(x = 0\) で有界であれば,特に問題なく定積分できるということです。

また,積分区間が無限となる積分(無限積分)については,

$$ \int_a^{\infty} f(x) \,dx = \left[F(x)\right]_a^{\infty} = F(\infty) – F(a)$$

などと,直接 \(\infty\) を入れて \(F(\infty)\) とすることはできない(\(\infty\) は数値ではない)ので,以下のように極限を使う。

$$ \int_a^{\infty} f(x) \,dx = \lim_{b \rightarrow \infty} \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{b \rightarrow \infty} F(b) – F(a)$$

$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \,dx = \lim_{a \rightarrow -\infty} \lim_{b \rightarrow \infty} \int_a^b f(x)\,dx=\lim_{b \rightarrow \infty} F(b) – \lim_{a \rightarrow -\infty}F(a)$$

簡単な例:

\begin{eqnarray}
\int_0^{\infty} e^{-x} \,dx &=& \left[-e^{-x}\right]_0^{\infty} \\
&=& \lim_{b \rightarrow \infty} (-e^{-b}) – (-e^0)\\
&=& 0 – (-1) = 1
\end{eqnarray}