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EinsteinPy でフリードマン方程式を求める

EinsteinPy を使ってフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー (FLRW) 計量からアインシュタイン方程式

$$G^{\mu}_{\ \ \nu} + \Lambda \delta^{\mu}_{\ \ \nu} = 8\pi G T^{\mu}_{\ \ \nu}$$

を使ってフリードマン方程式を求める。

必要なパッケージの import

In [1]:
from sympy import *
from einsteinpy.symbolic import *

フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量

Wikipedia の記述にそって,FLRW 計量を以下のようにおく。

$$ds^2 = – dt^2 + a^2(t) \left[\frac{dr^2}{1-k r^2} + r^2 \left(d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\phi^2 \right)\right] $$

In [2]:
t, r, theta, phi, k = symbols('t, r, theta, phi, k')
a = Function('a')(t)

Metric = diag(-1, a**2/(1-k*r**2), a**2*r**2, a**2*r**2 * sin(theta)**2).tolist()
g = MetricTensor(Metric, [t, r, theta, phi])
g.tensor()
Out[2]:
$\displaystyle \left[\begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0\\0 & \frac{a^{2}{\left(t \right)}}{- k r^{2} + 1} & 0 & 0\\0 & 0 & r^{2} a^{2}{\left(t \right)} & 0\\0 & 0 & 0 & r^{2} a^{2}{\left(t \right)} \sin^{2}{\left(\theta \right)}\end{matrix}\right]$

アインシュタイン・テンソル

$\displaystyle G^{\mu}_{\ \ \nu} = R^{\mu}_{\ \ \nu} – \frac{1}{2} R \delta^{\mu}_{\ \ \nu} $ = ein とおく。(.change_config('ul') で上付下付に)

In [3]:
ein=EinsteinTensor.from_metric(g).change_config('ul')

$\displaystyle G^{0}_{\ \ 0}$

In [4]:
ein[0,0]
Out[4]:
$\displaystyle \frac{3 \left(- k – \left(\frac{d}{d t} a{\left(t \right)}\right)^{2}\right)}{a^{2}{\left(t \right)}}$

$\displaystyle G^{1}_{\ \ 1}$

In [5]:
ein[1,1]
Out[5]:
$\displaystyle \frac{- k – 2 a{\left(t \right)} \frac{d^{2}}{d t^{2}} a{\left(t \right)} – \left(\frac{d}{d t} a{\left(t \right)}\right)^{2}}{a^{2}{\left(t \right)}}$

$\displaystyle G^{2}_{\ \ 2}$

In [6]:
ein[2,2]
Out[6]:
$\displaystyle \frac{- k – 2 a{\left(t \right)} \frac{d^{2}}{d t^{2}} a{\left(t \right)} – \left(\frac{d}{d t} a{\left(t \right)}\right)^{2}}{a^{2}{\left(t \right)}}$

$\displaystyle G^{3}_{\ \ 3}$

In [7]:
ein[3,3]
Out[7]:
$\displaystyle \frac{- k – 2 a{\left(t \right)} \frac{d^{2}}{d t^{2}} a{\left(t \right)} – \left(\frac{d}{d t} a{\left(t \right)}\right)^{2}}{a^{2}{\left(t \right)}}$

完全流体のエネルギー運動量テンソル

\begin{eqnarray}
T^{\mu}_{\ \ \nu} &=& (\rho + P) u^{\mu} u_{\nu} + P \delta^{\mu}_{\ \ \nu} \\
u^{\mu} &=& (1, 0, 0, 0) \\
u_{\nu} &=& g_{\nu\mu} u^{\mu} = (-1, 0, 0, 0)
\end{eqnarray}

In [8]:
rho = Function('rho')(t)
P = Function('P')(t)

uu = [1, 0, 0, 0]
ud = [-1, 0, 0, 0]

def T(a, b, P):
    return (rho + P)*uu[a]*ud[b] + P *KroneckerDelta(a, b)

アインシュタイン方程式

$$G^{\mu}_{\ \ \nu} = 8\pi G T^{\mu}_{\ \ \nu} – \Lambda \delta^{\mu}_{\ \ \nu} $$

In [9]:
from sympy import pi
G, Lambda = symbols('G, Lambda')

def EinEq(a, b, P):
    return Eq(expand(ein[a,b]), 8*pi*G*T(a, b, P) - Lambda *KroneckerDelta(a, b))

ダスト物質の場合

$$P = 0$$

フリードマン方程式

$G^{0}_{\ \ 0} = 8\pi G T^{0}_{\ \ 0} – \Lambda \delta^{0}_{\ \ 0} $

In [10]:
EinEq(0,0,0)
Out[10]:
$\displaystyle – \frac{3 k}{a^{2}{\left(t \right)}} – \frac{3 \left(\frac{d}{d t} a{\left(t \right)}\right)^{2}}{a^{2}{\left(t \right)}} = – 8 \pi G \rho{\left(t \right)} – \Lambda$
In [11]:
Eq(EinEq(0,0,0).lhs * (-Rational(1,3)), 
   EinEq(0,0,0).rhs * (-Rational(1,3)))
Out[11]:
$\displaystyle \frac{k}{a^{2}{\left(t \right)}} + \frac{\left(\frac{d}{d t} a{\left(t \right)}\right)^{2}}{a^{2}{\left(t \right)}} = \frac{8 \pi G \rho{\left(t \right)}}{3} + \frac{\Lambda}{3}$
In [12]:
Friedmann = _

$\ddot{a}$ の式

$G^{1}_{\ \ 1} = 8\pi G T^{1}_{\ \ 1} – \Lambda \delta^{1}_{\ \ 1} $

In [13]:
EinEq(1,1,0)
Out[13]:
$\displaystyle – \frac{k}{a^{2}{\left(t \right)}} – \frac{2 \frac{d^{2}}{d t^{2}} a{\left(t \right)}}{a{\left(t \right)}} – \frac{\left(\frac{d}{d t} a{\left(t \right)}\right)^{2}}{a^{2}{\left(t \right)}} = – \Lambda$
In [14]:
Eq((Friedmann.lhs + EinEq(1,1,0).lhs)*(-Rational(1,2)), 
   (Friedmann.rhs + EinEq(1,1,0).rhs)*(-Rational(1,2)))
Out[14]:
$\displaystyle \frac{\frac{d^{2}}{d t^{2}} a{\left(t \right)}}{a{\left(t \right)}} = – \frac{4 \pi G \rho{\left(t \right)}}{3} + \frac{\Lambda}{3}$
In [15]:
att = _

エネルギー密度の式

In [16]:
LHS = ((diff(Friedmann.lhs, t) + 
        2*diff(a,t)/a * Friedmann.lhs - 
        2*diff(a,t)/a * att.lhs)* 3/(8*pi*G)).expand()

RHS = ((diff(Friedmann.rhs, t) + 
        2*diff(a,t)/a * Friedmann.rhs - 
        2*diff(a,t)/a * att.rhs)* 3/(8*pi*G)).expand()

Eq(RHS, LHS)
Out[16]:
$\displaystyle \frac{d}{d t} \rho{\left(t \right)} + \frac{3 \rho{\left(t \right)} \frac{d}{d t} a{\left(t \right)}}{a{\left(t \right)}} = 0$

まとめ

ということで,以下の方程式が得られた。

\begin{eqnarray}
\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 + \frac{k}{a^2} &=& \frac{8\pi G}{3} \rho + \frac{\Lambda}{3}\\
\frac{\ddot{a}}{a} &=& – \frac{4\pi G}{3} \rho + \frac{\Lambda}{3} \\
\dot{\rho} + 3 \frac{\dot{a}}{a} \rho &=& 0
\end{eqnarray}

圧力がある物質の場合

フリードマン方程式

$G^{0}_{\ \ 0} = 8\pi G T^{0}_{\ \ 0} – \Lambda \delta^{0}_{\ \ 0} $

In [17]:
EinEq(0,0,P)
Out[17]:
$\displaystyle – \frac{3 k}{a^{2}{\left(t \right)}} – \frac{3 \left(\frac{d}{d t} a{\left(t \right)}\right)^{2}}{a^{2}{\left(t \right)}} = – 8 \pi G \rho{\left(t \right)} – \Lambda$
In [18]:
Eq(EinEq(0,0,P).lhs * (-Rational(1,3)), 
   EinEq(0,0,P).rhs * (-Rational(1,3)))
Out[18]:
$\displaystyle \frac{k}{a^{2}{\left(t \right)}} + \frac{\left(\frac{d}{d t} a{\left(t \right)}\right)^{2}}{a^{2}{\left(t \right)}} = \frac{8 \pi G \rho{\left(t \right)}}{3} + \frac{\Lambda}{3}$
In [19]:
Friedmann = _

$\ddot{a}$ の式

$G^{1}_{\ \ 1} = 8\pi G T^{1}_{\ \ 1} – \Lambda \delta^{1}_{\ \ 1} $

In [20]:
EinEq(1, 1, P)
Out[20]:
$\displaystyle – \frac{k}{a^{2}{\left(t \right)}} – \frac{2 \frac{d^{2}}{d t^{2}} a{\left(t \right)}}{a{\left(t \right)}} – \frac{\left(\frac{d}{d t} a{\left(t \right)}\right)^{2}}{a^{2}{\left(t \right)}} = 8 \pi G P{\left(t \right)} – \Lambda$
In [21]:
Eq((Friedmann.lhs + EinEq(1,1,P).lhs)*(-Rational(1,2)), 
   (Friedmann.rhs + EinEq(1,1,P).rhs)*(-Rational(1,2)))
Out[21]:
$\displaystyle \frac{\frac{d^{2}}{d t^{2}} a{\left(t \right)}}{a{\left(t \right)}} = – 4 \pi G P{\left(t \right)} – \frac{4 \pi G \rho{\left(t \right)}}{3} + \frac{\Lambda}{3}$
In [22]:
att = _

エネルギー密度の式

In [23]:
LHS = ((diff(Friedmann.lhs, t) + 
        2*diff(a,t)/a * Friedmann.lhs - 
        2*diff(a,t)/a * att.lhs)* 3/(8*pi*G)).expand()

RHS = ((diff(Friedmann.rhs, t) + 
        2*diff(a,t)/a * Friedmann.rhs - 
        2*diff(a,t)/a * att.rhs)* 3/(8*pi*G)).expand()

Eq(RHS, LHS)
Out[23]:
$\displaystyle \frac{3 P{\left(t \right)} \frac{d}{d t} a{\left(t \right)}}{a{\left(t \right)}} + \frac{d}{d t} \rho{\left(t \right)} + \frac{3 \rho{\left(t \right)} \frac{d}{d t} a{\left(t \right)}}{a{\left(t \right)}} = 0$

まとめ

ということで,以下の方程式が得られた。

\begin{eqnarray}
\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 + \frac{k}{a^2} &=& \frac{8\pi G}{3} \rho + \frac{\Lambda}{3}\\
\frac{\ddot{a}}{a} &=& – \frac{4\pi G}{3} (\rho + 3 P) + \frac{\Lambda}{3} \\
\dot{\rho} + 3 \frac{\dot{a}}{a} (\rho + P) &=& 0
\end{eqnarray}