Return to EinsteinPy や ctensor でアインシュタイン方程式を計算する

Maxima の ctensor でアインシュタイン方程式を解いてシュバルツシルト解を求める

Maxima の ctensor を使って球対称な計量から真空のアインシュタイン方程式

$$G^{\mu}_{\ \ \nu} = 0$$

を解き，シュバルツシルト解を求める。

必要なパッケージの load

メトリックが対角的なので，入力の簡便性のために load("diag")$ して diag() を使います。

In [1]:
load(ctensor)$
load(diag)$

球対称な計量

ランダウ・リフシッツ「場の古典論」の記述にそって，球対称な計量を以下のようにおく。（$\lambda$ は予約語？なので $\mu$ にした。）なお，Maxima のリストは 1 始まりなので，第ゼロ成分を第4成分としてみます。

$$ds^2 = e^{\mu(t,r)} dr^2 + r^2 \left(d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\phi^2 \right) – e^{\nu(t,r)} dt^2 $$

In [2]:
init_ctensor()$

/* 偏微分表示の簡便性のために */
derivabbrev:true$

/* 次元。デフォルトで 4 */
dim:4$

/* 座標系をリストで */
ct_coords:[r, theta, phi, t];

/* mu(r, t), nu(r, t) */
depends(mu, [r, t])$
depends(nu, [r, t])$

/* g_{\mu\nu} */
lg:diag([exp(mu), r**2, r**2*sin(theta)**2, -exp(nu)]);

/* g^{\mu\nu} を計算させておく */
cmetric()$
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{6}$}\left[ r , \vartheta , \varphi , t \right] \]
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{9}$}\begin{pmatrix}e^{\mu} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2\,\sin ^2\vartheta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -e^{\nu} \\ \end{pmatrix}\]

アインシュタイン・テンソル

$\displaystyle G^{\mu}_{\ \ \nu} = R^{\mu}_{\ \ \nu} – \frac{1}{2} R \delta^{\mu}_{\ \ \nu} $ = ein

In [3]:
/* アインシュタイン・テンソルの計算。
   false で結果を非表示，true ならノンゼロ成分を表示 */
einstein(false)$

アインシュタイン方程式

$$G^{\mu}_{\ \ \nu} = 8\pi G T^{\mu}_{\ \ \nu} – \Lambda \delta^{\mu}_{\ \ \nu} $$

In [4]:
EinEq(a, b):= 
  (expand(ein[a,b]) =  0);
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{12}$}{\it EinEq}\left(a , b\right):={\it expand}\left({\it ein}_{a,b}\right)=0\]

$\mu$ は時間に依存しないこと

$\displaystyle G^{1}_{\ \ 0}$

In [5]:
EinEq(1, 4);
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{13}$}-\frac{\mu_{t}\,e^ {- \nu }}{r}=0\]

$\displaystyle G^{1}_{\ \ 0} = 0$ より

$$\mu_t = \frac{\partial \mu}{\partial t} = 0, \quad \therefore\ \ \mu(t, r) \Rightarrow \mu(r)$$

$\mu(r)$ として，あらためてアインシュタイン・テンソルを求めてみる。

In [6]:
init_ctensor()$

/* 偏微分表示の簡便性のために */
derivabbrev:true$

/* 次元。デフォルトで 4 */
dim:4$

/* 座標系をリストで */
ct_coords:[r, theta, phi, t]$

/* mu(r), nu(r, t) */
depends(mu, [r])$
depends(nu, [r, t])$

/* g_{\mu\nu} */
lg:diag([exp(mu), r**2, r**2*sin(theta)**2, -exp(nu)])$

/* g^{\mu\nu} を計算させておく */
cmetric()$
/* アインシュタイン・テンソルの計算。
   false で結果を非表示，true ならノンゼロ成分を表示 */
einstein(false)$

$\displaystyle G^{0}_{\ \ 0} = 0$

In [7]:
EinEq(4, 4);
Out[7]:
\[\tag{${\it \%o}_{23}$}-\frac{e^ {- \mu }\,\mu_{r}}{r}+\frac{e^ {- \mu }}{r^2}-\frac{1}{r^2}=0\]

$\displaystyle G^{1}_{\ \ 1} = 0$

In [8]:
EinEq(1, 1);
Out[8]:
\[\tag{${\it \%o}_{24}$}\frac{e^ {- \mu }\,\nu_{r}}{r}+\frac{e^ {- \mu }}{r^2}-\frac{1}{r^2}=0\]

$\displaystyle G^{2}_{\ \ 2} = 0$

In [9]:
EinEq(2, 2);
Out[9]:
\[\tag{${\it \%o}_{25}$}\frac{e^ {- \mu }\,\nu_{r}}{2\,r}-\frac{e^ {- \mu }\,\mu_{r}}{2\,r}+\frac{e^ {- \mu }\,\nu_{r\,r}}{2}+\frac{e^ {- \mu }\,\left(\nu_{r}\right)^2}{4}-\frac{e^ {- \mu }\,\mu_{r}\,\nu_{r}}{4}=0\]

$\displaystyle G^{3}_{\ \ 3} = 0$

In [10]:
EinEq(3, 3);
Out[10]:
\[\tag{${\it \%o}_{26}$}\frac{e^ {- \mu }\,\nu_{r}}{2\,r}-\frac{e^ {- \mu }\,\mu_{r}}{2\,r}+\frac{e^ {- \mu }\,\nu_{r\,r}}{2}+\frac{e^ {- \mu }\,\left(\nu_{r}\right)^2}{4}-\frac{e^ {- \mu }\,\mu_{r}\,\nu_{r}}{4}=0\]

$\displaystyle G^{2}_{\ \ 2} = \displaystyle G^{3}_{\ \ 3}$ であることを確認。$\displaystyle G^{2}_{\ \ 2} – \displaystyle G^{3}_{\ \ 3}$ がゼロとなることを示す。

In [11]:
ein[2,2] - ein[3,3];
Out[11]:
\[\tag{${\it \%o}_{27}$}0\]

$\nu = – \mu$ とおけること

In [12]:
EinEq(1, 1) - EinEq(4, 4);
% * r * exp(mu), expand;
Out[12]:
\[\tag{${\it \%o}_{28}$}\frac{e^ {- \mu }\,\nu_{r}}{r}+\frac{e^ {- \mu }\,\mu_{r}}{r}=0\]
Out[12]:
\[\tag{${\it \%o}_{29}$}\nu_{r}+\mu_{r}=0\]

$G^1_{\ \ 1} – G^2_{\ \ 2} = 0$ より，以下の式が得られる。

$$\nu_r + \mu_r = \frac{\partial}{\partial r}\left(\nu(t, r) + \mu(r)\right) = 0$$

これから，$f(t)$ を積分「定数」として

$$\nu(t, r) = – \mu(r) + f(t)$$

となる。

\begin{eqnarray}
\therefore\ \ e^{\nu(t, r)} dt^2 &=& e^{- \mu(r) + f(t)} dt^2 \\
&=& e^{- \mu(r)} \left( e^{\frac{f(t)}{2}} dt\right)^2
\end{eqnarray}

時間 $t$ のみの任意関数 $f(t)$ の自由度は，$e^{\frac{f(t)}{2}} dt \Rightarrow dt’$ なる新しい時間座標の定義によって吸収できるので，一般性を失うことなく $f(t) = 0$ すなわち

$$\nu(t, r) = – \mu(r)$$

とすることができる。

バーコフの定理

ここまでは，球対称真空解は metric が時間によらない，つまり静的であるということを示しているわけで，バーコフの定理の証明になっている。バーコフの定理のもう一つの帰結である漸近的平坦性については，以下で示すように解が $e^{-\mu(r)} = \displaystyle 1 – \frac{r_g}{r}$ となることで $r \rightarrow \infty$ で $e^{-\mu(r)} \rightarrow 1$ となることからわかる。

ということで，あらためて以下のような計量テンソルに対して，アインシュタイン・テンソルを計算してみる。

In [13]:
init_ctensor()$

/* 偏微分表示の簡便性のために */
derivabbrev:true$ 

/* 次元。デフォルトで 4 */
dim:4$

/* 座標系をリストで */
ct_coords:[r, theta, phi, t]$

/* mu(r) */
depends(mu, [r]);

/* g_{\mu\nu} */
lg:diag([exp(mu), r**2, r**2*sin(theta)**2, -exp(-mu)]);

/* g^{\mu\nu} を計算させておく */
cmetric()$
/* アインシュタイン・テンソルの計算。
   false で結果を非表示，true ならノンゼロ成分を表示 */
einstein(false)$
Out[13]:
\[\tag{${\it \%o}_{34}$}\left[ \mu\left(r\right) \right] \]
Out[13]:
\[\tag{${\it \%o}_{35}$}\begin{pmatrix}e^{\mu} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2\,\sin ^2\vartheta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -e^ {- \mu } \\ \end{pmatrix}\]
In [14]:
EinEq(4, 4);
Out[14]:
\[\tag{${\it \%o}_{38}$}-\frac{e^ {- \mu }\,\mu_{r}}{r}+\frac{e^ {- \mu }}{r^2}-\frac{1}{r^2}=0\]
In [15]:
eq: EinEq(4, 4) * r**2, expand;
Out[15]:
\[\tag{${\it \%o}_{39}$}-e^ {- \mu }\,\mu_{r}\,r+e^ {- \mu }-1=0\]

微分方程式を解き，$\mu$ を求める

微分方程式 $\displaystyle – e^{-\mu} \frac{d\mu}{d r} r + e^{-\mu} – 1 = 0$ を Maxima の ode2() を使って解く。

In [16]:
sol: ode2(eq, mu, r);
Out[16]:
\[\tag{${\it \%o}_{40}$}\mu-\log \left(e^{\mu}-1\right)=\log r+{\it \%c}\]

これでは今ひとつ。$\mu(r)$ について解いたことになっていない。$f(r) \equiv e^{-\mu(r)}$ とおくと，

$$- e^{-\mu} \frac{d\mu}{d r} r + e^{-\mu} – 1 = \frac{df}{dr} r + f -1 = 0$$

となるのでこっちを解いてみる。

In [17]:
depends(f, r)$

eq2: 'diff(f, r) * r + f -1 = 0$
ode2(eq2, f, r), expand;
Out[17]:
\[\tag{${\it \%o}_{43}$}f=\frac{{\it \%c}}{r}+1\]

積分定数 $\%c$ はニュートン近似のときに，

\begin{eqnarray}
g_{00} = g_{44} &=& – e^{-\mu} \\
&\simeq& – \left( 1 + 2 \frac{\phi}{c^2}\right) \\
&=& – \left( 1 – 2 \frac{GM}{r c^2}\right)
\end{eqnarray}

となることから，

$$\%c = -\frac{2 GM}{c^2} \equiv -r_g$$

となる。

最終的に

$$ds^2 = \frac{dr^2}{1 – \frac{r_g}{r}} + r^2 \left(d\theta^2 + \sin^2\theta \,d\phi^2 \right) -\left(1 – \frac{r_g}{r} \right) dt^2$$