EinsteinPy や ctensor でアインシュタイン方程式を計算する

Python の EinsteinPy や Maxima の ctensor などのコンピュータ代数システムを使って，アインシュタイン方程式の解を求める例。

アインシュタイン方程式を解くということ

アインシュタイン方程式を解くというのはどういうことか，というと…

計量テンソルと座標

\begin{eqnarray}
ds^2 &=& g_{\mu\nu}\,dx^{\mu}dx^{\nu}.
\end{eqnarray}

計量テンソル $g_{\mu\nu}$ の独立な成分の個数は最大10個，それぞれが一般に座標 $x^{\mu}$ の最大4変数に依存する関数。

クリストッフェル記号

\begin{equation}
\varGamma^{\lambda}_{\ \ \mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\sigma}
\left(g_{\sigma\mu,\nu} + g_{\sigma\nu,\mu} – g_{\mu\nu,\sigma}
\right)
\end{equation}

クリストッフェル記号の独立な成分の個数は40個，40個それぞれが一般に座標 $x^{\mu}$ の4変数関数。

リーマンテンソル

\begin{eqnarray}
R^{\sigma}_{\ \ \mu\nu\rho} &=& \varGamma^{\sigma}_{\ \ \mu\rho,\nu} –
\varGamma^{\sigma}_{\ \ \mu\nu,\rho} \nonumber + \varGamma^{\sigma}_{\ \ \lambda\nu}\varGamma^{\lambda}_{\ \ \mu\rho}
– \varGamma^{\sigma}_{\ \ \lambda\rho}\varGamma^{\lambda}_{\ \ \mu\nu}.
\end{eqnarray}

リーマンテンソルの独立な成分の個数は20個，20個それぞれが一般に座標 $x^{\mu}$ の4変数関数。

リッチテンソル・リッチスカラー

\begin{equation}
R_{\mu\rho} \equiv R^{\nu}_{\ \ \mu\nu\rho} =R_{\rho\mu} .
\end{equation}

リッチテンソルの独立な成分の個数は10個，10個それぞれが一般に座標 $x^{\mu}$ の4変数関数。

\begin{equation}
R \equiv g^{\mu\rho} R_{\mu\rho}
\end{equation}

スカラーだから1個，これが一般に座標 $x^{\mu}$ の4変数関数。

アインシュタインテンソル

$$G_{\mu\nu} \equiv R_{\mu\nu} – \frac{1}{2}g_{\mu\nu}\, R = G_{\nu\mu}$$

リッチテンソルと同様，アインシュタインテンソルの独立な成分の個数は10個，10個それぞれが一般に座標 $x^{\mu}$ の4変数関数。

アインシュタイン方程式

\begin{equation}
G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}.
\end{equation}

宇宙定数 $\Lambda$ がある場合には

\begin{equation}
G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu}= \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}.
\end{equation}

ここで $T_{\mu\nu}$ は物質のエネルギー運動量テンソル。

アインシュタイン方程式は「4変数関数10個に対する10元連立非線形（偏微分の階数が）2階偏微分方程式10本ワンセット」。

… というふうに，ものすごい計算量が必要である。これだと求めるのが大変で，ほぼ不可能なので，なんらかの簡単化・単純化をおこなって，求める計量テンソルの成分の個数をなるべく減らし，対称性の仮定をして座標依存性をなるべく減らして（可能であれば1変数のみに依存するようにできれば，偏微分方程式ではなく常微分方程式になるので，解きやすくなるかも）ともかく，人間が解ける程度の簡単な形にする。

それでも，人力のみに頼るのでは大変だから，コンピュータ代数システムを活用してみる。