2次元極座標系の基本ベクトル
簡単のため，2次元平面を考え，近接した2点 \(P, Q\) をデカルト座標 \(x, y\) と極座標 \(r, \theta\) で表す場合を考えます。
座標の変換式は
$$x = r\, \cos\theta, \quad y = r\,\sin\theta$$ 微小変位は
$$dx = dr\, \cos\theta – r\,\sin\theta\, d\theta, \quad dy = dr \,\sin\theta + r\,\cos\theta\,d\theta$$
\(PQ\) 間の微小変位ベクトル \(d\vec{x}\) をデカルト座標で表したのちに変形させると，
\begin{eqnarray}
d\vec{x} &=& dx\,\vec{e}_x + dy\,\vec{e}_y \\
&=& (dr\, \cos\theta – r\,\sin\theta\, d\theta) \,\vec{e}_x + (dr \,\sin\theta + r\,\cos\theta\,d\theta)\,\vec{e}_y \\
&=& dr (\cos\theta\,\vec{e}_x + \sin\theta\,\vec{e}_y) + d\theta (-r\sin\theta\,\vec{e}_x + r\cos\theta\,\vec{e}_y)
\end{eqnarray}
一方，微小変位ベクトル \(d\vec{x}\) を極座標で表すと
$$d\vec{x} = dr\,\vec{e}_r + d\theta\,\vec{e}_{\theta}$$ であるから，
\begin{eqnarray}
\vec{e}_r &=& \cos\theta\, \vec{e}_x + \sin\theta\, \vec{e}_y \\
\vec{e}_{\theta} &=&-r \sin\theta\, \vec{e}_x + r \cos\theta\, \vec{e}_y
\end{eqnarray} となり，たとえ \(\vec{e}_x, \vec{e}_y\) は一定のベクトルであっても \(\vec{e}_r, \vec{e}_{\theta}\) は一般に空間座標 \(r, \theta\) の依存性をもつことになる。
また，デカルト座標系の基本ベクトル（「基本ベクトル」は学部生向けの用語であり，以後，デカルト座標系の基本ベクトルを「デカルト基底」などと呼ぶかもしれない）には以下のような正規直交関係があるが，$$\vec{e}_x\cdot \vec{e}_x = 1, \quad\vec{e}_x\cdot \vec{e}_y = 0, \quad\vec{e}_y\cdot \vec{e}_y = 1$$ 一般の座標基底の大きさは必ずしも \(1\) に規格化されているわけではない。例えば，2次元曲座標系では，
\begin{eqnarray}
\vec{e}_{\theta}\cdot\vec{e}_{\theta} &=& \left( -r \sin\theta\, \vec{e}_x + r \cos\theta\, \vec{e}_y\right)\cdot\left( -r \sin\theta\, \vec{e}_x + r \cos\theta\, \vec{e}_y\right) \\
&=& r^2 \sin^2\theta \,\vec{e}_x\cdot\vec{e}_x – 2 r^2 \sin\theta\cos\theta \,\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y + r^2 \cos^2\theta \,\vec{e}_y\cdot\vec{e}_y \\
&=& r^2
\end{eqnarray} となる。
空間座標による極座標基底の偏微分をちょっと計算してみると，
\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial r} \vec{e}_r =\vec{e}_{r,r} &=& \vec{0}\\
\frac{\partial}{\partial \theta} \vec{e}_r =\vec{e}_{r,\theta}&=&\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \cos\theta\, \vec{e}_x + \sin\theta\, \vec{e}_y\right) \\
&=& -\sin\theta\, \, \vec{e}_x + \cos\theta\, \vec{e}_y \\
&=& \frac{1}{r} \vec{e}_{\theta}
\end{eqnarray}
\(\vec{e}_{\theta,r}, \vec{e}_{\theta,\theta} \) についても同様に計算すればよいが，クリストッフェル記号の対称性から
$$ \vec{e}_{\theta,r} = \vec{e}_{r, \theta}$$ であったから，残りは \( \vec{e}_{\theta,\theta}\) の計算だけ。
\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} = \vec{e}_{\theta,\theta}&=& \frac{\partial}{\partial \theta}\left( -r \sin\theta\, \vec{e}_x + r \cos\theta\, \vec{e}_y\right) \\
&=& -r \cos\theta\, \vec{e}_x – r \sin\theta\, \vec{e}_y \\
&=& -r \,\vec{e}_r
\end{eqnarray}
上記の計算で注意しておくべきことは，計算の途中こそデカルト基底を使っていたが，最終的結果にはデカルト基底はどこにも顔を出さず，極座標基底だけで表されていることが大事。
これが，別途述べる「クリストッフェル記号」につながる。以下は，クリストッフェル記号の定義の項を読んだ上であらためて読み直してください。
極座標基底の空間偏微分が極座標基底だけを使って表すことができることにクリストッフェル記号の重要性がある。
2次元極座標系の基本ベクトルを直接微分して右辺と比較し，クリストッフェル記号を求めることができる。
$$\vec{e}_{r, r} = \varGamma^r_{\ rr} \vec{e}_{r} + \varGamma^{\theta}_{\ rr} \vec{e}_{\theta} , \quad \vec{e}_{r, \theta} = \varGamma^r_{\ r\theta} \vec{e}_{r} + \varGamma^{\theta}_{\ r\theta} \vec{e}_{\theta}, \quad \vec{e}_{\theta, \theta} = \varGamma^r_{\ \theta\theta} \vec{e}_{r} + \varGamma^{\theta}_{\ \theta\theta} \vec{e}_{\theta}$$
$$\varGamma^r_{\ rr} = \varGamma^{\theta}_{\ rr} = \varGamma^r_{\ r\theta} = \varGamma^{\theta}_{\ \theta\theta} = 0, \quad \varGamma^{\theta}_{\ r\theta} = \frac{1}{r}, \quad \varGamma^r_{\ \theta\theta} = -r$$
また，2次元極座標系のメトリックテンソルの成分 \(g_{ij}\) は，