3次元ベクトルは \(\vec{k} = k^i \vec{e}_i, \ k^i = (k_x, k_y, k_z)\) あるいは \(\vec{k} = (k_x, k_y, k_z)\)
4元ベクトルは \(\boldsymbol{k} = k^{\mu} \boldsymbol{e}_{\mu}, \ k^{\mu} = (k^0, k^i) = (k^0, \vec{k})\) などのように表す。
まずは3次元ベクトルを例に，ベクトルの微分についてまとめる。
3次元デカルト座標系 \(S\) では，位置ベクトル \(\vec{r}\) は，成分 \(x, y, z\) と基本ベクトル \(\vec{e}_x,\, \vec{e}_y,\, \vec{e}_z\) を使って
\begin{equation}
\vec{r}=x\, \vec{e}_x +y\, \vec{e}_y + z\, \vec{e}_z
\end{equation}
と表される。このベクトルの時間微分は，
\begin{equation}
\dot{\vec{r}}=\dot{x}\, \vec{e}_x
+ \dot{y}\, \vec{e}_y
+ \dot{z}\, \vec{e}_z \equiv \vec{v}
\end{equation}
であり，
ベクトルの微分とは成分を微分すること
と教わったかと思う。しかし，そうとばかりは限らない。
慣性系 \(S\) に対して，一定の角速度ベクトル \(\vec{\omega}\) で回転している系 \(S’\) での位置ベクトル \(\vec{r}’\) は，系 \(S’\) の基本ベクトル \(\vec{e}’_x, \vec{e}’_y, \vec{e}’_z\) を使って
\begin{equation}
\vec{r}’=x’ \vec{e}’_x +y’ \vec{e}’_y
+z’ \vec{e}’_z
\end{equation}
と書けるが，系 \(S’\) は回転しているため，基本ベクトルも時間変化する。
（\(\dot{\vec{e}}’_x =\vec{\omega}\times\vec{e}’_x\) 等。） （補足参照。）
従って，
\begin{eqnarray}
\dot{\vec{r}}’ &=& \dot{x}’\, \vec{e}’_x
+ \dot{y}’\, \vec{e}’_y
+ \dot{z}’\, \vec{e}’_z % \nonumber\\
+ x’\, \dot{\vec{e}}’_x + y’\, \dot{\vec{e}}’_y
+ z’\, \dot{\vec{e}}’_z \nonumber \\
&=& \vec{v}’ + \vec{\omega}\times \vec{r}’.
\end{eqnarray}
さらに2階微分は
\begin{eqnarray}
\ddot{\vec{r}}’ &=& \vec{a}’
+ 2 \vec{\omega}\times\vec{v}’
+\vec{\omega}\times (\vec{\omega}\times\vec{r}’)
\end{eqnarray}
となり，第2項，第3項は運動方程式の右辺へ移行して符号を変え，それぞれコリオリ力と遠心力と呼ばれることになる。（補足を参照。）
この回転系の例で明らかなように，
一般にベクトルを微分するときは，
成分だけでなく基本ベクトルも微分する必要がある
ということだけを覚えておいていただきたい。
時間微分だけでなく，
空間座標による偏微分の場合も，成分だけでなく，
基本ベクトルも微分する必要があるのは同様である。
（補足を参照。）
基本ベクトルが一定であるのは，直交直線座標系（デカルト座標系）のみであり，一般に曲線座標系では基本ベクトルは一定ではなく，座標依存性をもつことに留意されたい。