基本ベクトルの偏微分から定義されるクリストッフェル記号
$$ \boldsymbol{e}_{\mu, \nu} \equiv \varGamma^{\lambda}_{\ \ \mu\nu} \boldsymbol{e}_{\lambda}$$ と書き，\( \varGamma^{\lambda}_{\ \ \mu\nu} \) を一般に接続係数と呼ぶのであった。一般相対論では使われる接続係数は，
$$ \varGamma^{\lambda}_{\ \ \mu\nu} = \varGamma^{\lambda}_{\ \ \nu\mu}$$
すなわち
$$\boldsymbol{e}_{\mu, \nu} = \boldsymbol{e}_{\nu, \mu} $$
のように下添字について対称であるという性質をもち，特にクリストッフェル記号と呼ばれるのであった。
クリストッフェル記号を計量テンソルの偏微分で表す
この定義と，計量テンソルの成分の定義
$$ g_{\mu\nu} = \boldsymbol{e}_{\mu}\cdot\boldsymbol{e}_{\nu} $$ から
$$\varGamma^{\lambda}_{\ \ \mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\sigma}(g_{\sigma\mu, \nu} + g_{\sigma\nu, \mu} – g_{\mu\nu, \sigma})$$ を導く，という話。
まず，
\begin{eqnarray}
g_{\mu\nu, \sigma} &=& \boldsymbol{e}_{\mu, \sigma}\cdot \boldsymbol{e}_{\nu} + \boldsymbol{e}_{\mu}\cdot \boldsymbol{e}_{\nu, \sigma}\\
&=& \varGamma^{\rho}_{\ \ \mu\sigma} \boldsymbol{e}_{\rho}\cdot \boldsymbol{e}_{\nu} + \boldsymbol{e}_{\mu}\cdot \varGamma^{\rho}_{\ \ \nu\sigma} \boldsymbol{e}_{\rho} \\
&=& g_{\rho\nu} \varGamma^{\rho}_{\ \ \mu\sigma} + g_{\mu\rho} \varGamma^{\rho}_{\ \ \nu\sigma}
\end{eqnarray}
であった。\(\mu, \nu, \rho\) の添字の順番を適宜変えて3本並べると，
\begin{eqnarray}
-g_{\mu\nu, \sigma}
&=&\ \color{red}{-g_{\rho\nu} \varGamma^{\rho}_{\ \ \mu\sigma}} \ \color{blue}{\ – \ \, g_{\mu\rho} \varGamma^{\rho}_{\ \ \nu\sigma}}\\
g_{\sigma\mu, \nu}
&=& \quad \color{blue}{g_{\rho\mu} \varGamma^{\rho}_{\ \ \sigma\nu}} \color{black}{\ + \ g_{\sigma\rho} \varGamma^{\rho}_{\ \ \mu\nu}}\\
g_{\sigma\nu, \mu}
&=& \quad \color{red}{g_{\rho\nu} \varGamma^{\rho}_{\ \ \sigma\mu}} \color{black}{\ +\ g_{\sigma\rho} \varGamma^{\rho}_{\ \ \nu\mu}}
\end{eqnarray}
クリストッフェル記号の下添字の対称性を使い，上式3本を足し合わせると，赤色同士，青色同士はキャンセルして
$$g_{\sigma\mu, \nu} + g_{\sigma\nu, \mu} – g_{\mu\nu, \sigma} = 2 \ g_{\sigma\rho} \varGamma^{\rho}_{\ \ \mu\nu}$$
あとは，
$$ g^{\lambda\sigma} g_{\sigma\rho} = \delta^{\lambda}_{\ \ \rho} $$
で定義される計量テンソルの成分 \(g_{\sigma\rho} \) の逆行列 \( g^{\lambda\sigma} \) を使うと求めることができます。
クリストッフェル記号の下添字対称性についてもう少し
クリストッフェル記号の下添字の対称性
$$\varGamma^{\lambda}_{\ \ \mu\nu} = \varGamma^{\lambda}_{\ \ \nu\mu}$$
すなわち$$\boldsymbol{e}_{\mu , \nu} = \boldsymbol{e}_{\nu , \mu}$$
について補足しておく。
今，座標変換による基本ベクトルの変換性をおさらいするため，以下の微小変位ベクトル \(d\boldsymbol{x}\) を考える。
$$ d\boldsymbol{x} \equiv dx^{\mu} \boldsymbol{e}_{\mu}$$
\( x^{\mu} \rightarrow x^{\mu’} \) の座標変換を考えると，微小変位ベクトルの成分は以下のように変換される。
$$ dx^{\mu} = \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\nu’}} dx^{\nu’} $$
一方で，ベクトル \(d\boldsymbol{x}\) そのものは座標系の取り方によらない幾何学的オブジェクトであるから
\begin{eqnarray}
d\boldsymbol{x} &=& dx^{\lambda} \boldsymbol{e}_{\lambda} \\
&=& \frac{\partial x^{\lambda}}{\partial x^{\mu’}} dx^{\mu’} \boldsymbol{e}_{\lambda} \\
&\equiv& dx^{\mu’} \boldsymbol{e}_{\mu’}
\end{eqnarray} となり，基本ベクトルの変換則が以下のように導かれる。
$$\therefore \ \boldsymbol{e}_{\mu’} = \frac{\partial x^{\lambda}}{\partial x^{\mu’}} \boldsymbol{e}_{\lambda}$$ この基本ベクトルを \(x^{\nu’}\) で偏微分すると
\begin{eqnarray}
\frac{\partial }{\partial x^{\nu’}} \boldsymbol{e}_{\mu’} &=& \boldsymbol{e}_{\mu’ , \nu’} \\
&=& \frac{\partial^2 x^{\lambda}}{\partial x^{\nu’} \partial x^{\mu’}} \boldsymbol{e}_{\lambda} + \frac{\partial x^{\lambda}}{\partial x^{\mu’}}\boldsymbol{e}_{\lambda , \sigma}\frac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\nu’}}
\end{eqnarray}
ここで，時空の任意の1点とその近傍で，局所的に特殊相対論が成り立つ，つまり局所慣性系をとることができる，と仮定する。点 \(P\) での局所慣性系を \(x^{\mu}\) とすると，
$$\boldsymbol{e}_{\lambda , \sigma}(P) =0 $$ とすることができる，ということである。すると，
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_{\mu’ , \nu’}(P) &=& \frac{\partial^2 x^{\lambda}}{\partial x^{\nu’} \partial x^{\mu’}} \boldsymbol{e}_{\lambda}(P)\\
&=& \frac{\partial^2 x^{\lambda}}{\partial x^{\mu’} \partial x^{\nu’}} \boldsymbol{e}_{\lambda}(P)\\
&=& \boldsymbol{e}_{\nu’ , \mu’}(P) \end{eqnarray}
今後，時空の任意の1点とその近傍で局所慣性系をとることができると仮定しているから，任意の座標系・任意の点で
$$\boldsymbol{e}_{\mu , \nu} = \boldsymbol{e}_{\nu , \mu}$$ が成り立つとし，この添字対称性をもつ接続係数をクリストッフェル記号と呼ぶのであった。
自由度の勘定をすると，計量テンソルの成分 \(g_{\mu\nu}\) は対称行列であるから，4次元時空の場合の独立な自由度は10個。
その1階偏微分 \(g_{\mu\nu, \lambda}\) は \(\lambda\) が4個の自由度をもつので，\( 10 \times 4 = 40 \) 個。
一方 \(\varGamma^{\lambda}_{\ \ \mu \nu} = \varGamma^{\lambda}_{\ \ \nu \mu}\) の自由度も，\(\lambda\) が4個，下添字の対称性から10個。合わせて \(4\times 10 = 40\)個で，メトリック・テンソルの1階偏微分の自由度とクリストッフェル記号の自由度は同じであることも，好ましい兆候です。