偏差ベクトル \(\boldsymbol{\xi} = \xi^{\mu} \boldsymbol{e}_{\mu}\) に対する式
$$ \frac{d\boldsymbol{\xi}}{dv} = \boldsymbol{u}_{, \nu}\, \xi^{\nu}, \quad \mbox{or}\quad
\frac{d\xi^{\mu}}{dv} = u^{\mu}_{\ \ , \nu}\, \xi^{\nu}$$から（リーマンテンソルの成分を使って書かれる前の）測地線偏差方程式
\begin{equation}
\frac{d^2\boldsymbol{\xi}}{dv^2} =
\left(\boldsymbol{e}_{\mu,\rho\nu} – \boldsymbol{e}_{\mu,\nu\rho}\right)
u^{\mu}u^{\nu}\xi^{\rho}
\end{equation}
を導く。ここで，\(\boldsymbol{u} = u^{\mu} \boldsymbol{e}_{\mu}\) は測地線方程式
$$\frac{d\boldsymbol{u}}{dv} = \boldsymbol{0}$$を満たす。
\begin{eqnarray}
\frac{d^2\boldsymbol{\xi}}{dv^2}
&=&\frac{d}{dv} \left(\frac{d\boldsymbol{\xi}}{dv}\right) \\
&=& \frac{d}{dv} \left( \boldsymbol{u}_{, \rho}\, \xi^{\rho}\right)\\
&=& \boldsymbol{u}_{, \rho\nu} u^{\nu} \xi^{\rho} + \boldsymbol{u}_{, \nu} \frac{d\xi^{\nu}}{dv}\\
&=& \boldsymbol{u}_{, \rho\nu} u^{\nu} \xi^{\rho} + \boldsymbol{u}_{, \nu} \left(u^{\nu}_{\ \ ,\rho} \xi^{\rho}\right) \\
&=& \boldsymbol{u}_{, \rho\nu} u^{\nu} \xi^{\rho} + \left(\left(\boldsymbol{u}_{, \nu} u^{\nu}\right)_{ ,\rho} – \boldsymbol{u}_{, \nu\rho} u^{\nu}\right)\xi^{\rho} \\
&=& \left(\boldsymbol{u}_{, \rho\nu} – \boldsymbol{u}_{, \nu\rho}\right) u^{\nu}\xi^{\rho}
+ \left( \frac{d\boldsymbol{u}}{dv}\right)_{ ,\rho}\xi^{\rho}\\
&=& \left(\boldsymbol{u}_{, \rho\nu} – \boldsymbol{u}_{, \nu\rho}\right) u^{\nu}\xi^{\rho}
\end{eqnarray}
というわけで，ここまできた。
$$ \frac{d^2\boldsymbol{\xi}}{dv^2} = \left(\boldsymbol{u}_{, \rho\nu} – \boldsymbol{u}_{, \nu\rho}\right) u^{\nu}\xi^{\rho} $$
ここで，
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{u}_{, \rho\nu}
&=& \left( u^{\mu} \boldsymbol{e}_{\mu} \right)_{, \rho\nu}\\
&=& \color{red}{u^{\mu}_{\ \ , \rho\nu}\boldsymbol{e}_{\mu}
+ u^{\mu}_{\ \ ,\rho}\boldsymbol{e}_{\mu, \nu}+ u^{\mu}_{\ \ ,\nu}\boldsymbol{e}_{\mu, \rho}}
\color{black}{+ u^{\mu}\boldsymbol{e}_{\mu,\rho\nu}}
\end{eqnarray}
であり，赤色部分は添字 \( \rho\) と \(\nu\) に対して対称であるから直ちに
$$ \boldsymbol{u}_{, \rho\nu} – \boldsymbol{u}_{, \nu\rho} = \left( \boldsymbol{e}_{\mu, \rho\nu} – \boldsymbol{e}_{\mu, \nu\rho}\right) u^{\mu}$$
ゆえに，
$$ \frac{d^2\boldsymbol{\xi}}{dv^2} = \left( \boldsymbol{e}_{\mu, \rho\nu} – \boldsymbol{e}_{\mu, \nu\rho}\right) u^{\mu}u^{\nu}\xi^{\rho} $$