クリストッフェル記号の定義
$$ \boldsymbol{e}_{\mu, \nu} \equiv \varGamma^{\lambda}_{\ \ \mu\nu} \boldsymbol{e}_{\lambda}$$
とリーマンテンソルの成分の定義
\begin{equation}
\boldsymbol{e}_{\mu,\rho\nu} – \boldsymbol{e}_{\mu,\nu\rho}
\equiv R^{\sigma}_{\ \ \mu\nu\rho} \boldsymbol{e}_{\sigma}
\end{equation}
から，以下を導く。
\begin{eqnarray}
R^{\sigma}_{\ \ \mu\nu\rho} &=& \varGamma^{\sigma}_{\ \ \mu\rho,\nu} –
\varGamma^{\sigma}_{\ \ \mu\nu,\rho} \nonumber + \varGamma^{\sigma}_{\ \ \lambda\nu}\varGamma^{\lambda}_{\ \ \mu\rho}
– \varGamma^{\sigma}_{\ \ \lambda\rho}\varGamma^{\lambda}_{\ \ \mu\nu}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_{\mu,\rho\nu} – \boldsymbol{e}_{\mu,\nu\rho}
&=& \left( \varGamma^{\sigma}_{\ \ \mu\rho} \boldsymbol{e}_{\sigma}\right)_{, \nu}
\quad – \quad \left( \varGamma^{\sigma}_{\ \ \mu\nu} \boldsymbol{e}_{\sigma}\right)_{, \rho}\\
&=& \quad \varGamma^{\sigma}_{\ \ \mu\rho, \nu}\boldsymbol{e}_{\sigma}
\quad – \quad \varGamma^{\sigma}_{\ \ \mu\nu, \rho}\boldsymbol{e}_{\sigma} \\
&&+\varGamma^{\lambda}_{\ \ \mu\rho}\boldsymbol{e}_{\lambda, \nu}
\quad – \quad \varGamma^{\lambda}_{\ \ \mu\nu}\boldsymbol{e}_{\lambda, \rho}\\
&=& \quad \varGamma^{\sigma}_{\ \ \mu\rho, \nu}\boldsymbol{e}_{\sigma}
\quad – \quad \varGamma^{\sigma}_{\ \ \mu\nu, \rho}\boldsymbol{e}_{\sigma} \\
&&+\varGamma^{\lambda}_{\ \ \mu\rho}\varGamma^{\sigma}_{\ \ \lambda\nu}\boldsymbol{e}_{\sigma}
\quad – \quad \varGamma^{\lambda}_{\ \ \mu\nu}\varGamma^{\sigma}_{\ \ \lambda\rho}\boldsymbol{e}_{\sigma}\\
&=& \left(\varGamma^{\sigma}_{\ \ \mu\rho,\nu} –
\varGamma^{\sigma}_{\ \ \mu\nu,\rho} \nonumber + \varGamma^{\sigma}_{\ \ \lambda\nu}\varGamma^{\lambda}_{\ \ \mu\rho}
– \varGamma^{\sigma}_{\ \ \lambda\rho}\varGamma^{\lambda}_{\ \ \mu\nu} \right) \boldsymbol{e}_{\sigma}\\
&\equiv& R^{\sigma}_{\ \ \mu\nu\rho} \boldsymbol{e}_{\sigma}
\end{eqnarray}
より，導くことができた。