Return to EinsteinPy や ctensor でアインシュタイン方程式を計算する

Maxima の ctensor でフリードマン方程式を求める

Maxima の ctensor を使ってフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー (FLRW) 計量からアインシュタイン方程式

$$G^{\mu}_{\ \ \nu} + \Lambda \delta^{\mu}_{\ \ \nu} = 8\pi G T^{\mu}_{\ \ \nu}$$

を使ってフリードマン方程式を求める。

必要なパッケージの load

メトリックが対角的なので，入力の簡便性のために load("diag")$ して diag() を使います。

In [1]:
load(ctensor)$
load(diag)$

フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量

Wikipedia の記述にそって，FLRW 計量を以下のようにおく。なお，Maxima のリストは 1 始まりなので，第ゼロ成分を第4成分としてみます。

$$ds^2 = a^2(t) \left[\frac{dr^2}{1-k r^2} + r^2 \left(d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\phi^2 \right)\right] – dt^2 $$

In [2]:
init_ctensor()$

/* 偏微分表示の簡便性のために */
derivabbrev:true$

/* 次元。デフォルトで 4 */
dim:4$

/* 座標系をリストで */
ct_coords:[r, theta, phi, t];

/* a(t) */
depends(a, [t])$

/* g_{\mu\nu} */
lg:diag([a**2/(1 - k*r**2), a**2 * r**2, a**2 * r**2 * sin(theta)**2, -1]);

/* g^{\mu\nu} を計算させておく */
cmetric()$
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{6}$}\left[ r , \vartheta , \varphi , t \right] \]
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{8}$}\begin{pmatrix}\frac{a^2}{1-k\,r^2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a^2\,r^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a^2\,r^2\,\sin ^2\vartheta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{pmatrix}\]

アインシュタイン・テンソル

$\displaystyle G^{\mu}_{\ \ \nu} = R^{\mu}_{\ \ \nu} – \frac{1}{2} R \delta^{\mu}_{\ \ \nu} $ = ein

In [3]:
/* アインシュタイン・テンソルの計算。
   false で結果を非表示，true ならノンゼロ成分を表示 */
einstein(true)$
\[\tag{${\it \%t}_{10}$}{\it ein}_{1,1}=-\frac{k+2\,a\,a_{t\,t}+\left(a_{t}\right)^2}{a^2}\]
\[\tag{${\it \%t}_{11}$}{\it ein}_{2,2}=-\frac{k+2\,a\,a_{t\,t}+\left(a_{t}\right)^2}{a^2}\]
\[\tag{${\it \%t}_{12}$}{\it ein}_{3,3}=-\frac{k+2\,a\,a_{t\,t}+\left(a_{t}\right)^2}{a^2}\]
\[\tag{${\it \%t}_{13}$}{\it ein}_{4,4}=-\frac{3\,k+3\,\left(a_{t}\right)^2}{a^2}\]
完全流体のエネルギー運動量テンソル
\begin{eqnarray}
 T^{\mu}_{\ \ \nu} &=& (\rho + P) u^{\mu} u_{\nu} + P \delta^{\mu}_{\ \ \nu} \\
 u^{\mu} &=& (1, 0, 0, 0) \\
 u_{\nu} &=& g_{\nu\mu} u^{\mu} = (-1, 0, 0, 0)
 \end{eqnarray}
In [4]:
depends(rho, [t])$

uu: [0, 0, 0, 1]$
ud: [0, 0, 0, -1]$

/* 状態方程式： P = w \rho */
T(a, b, P):= (rho +  P) * uu[a]* ud[b] + P * kron_delta(a, b);

Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{17}$}T\left(a , b , P\right):=\left(\rho+P\right)\,{\it uu}_{a}\,{\it ud}_{b}+P\,\delta_{a, b} \]
アインシュタイン方程式
$$G^{\mu}_{\ \ \nu} = 8\pi G T^{\mu}_{\ \ \nu} – \Lambda \delta^{\mu}_{\ \ \nu} $$
In [5]:
EinEq(a, b, P):= (ein[a,b] = 8*%pi*G * T(a, b, P) - \Lambda * kron_delta(a,b));

Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{18}$}{\it EinEq}\left(a , b , P\right):={\it ein}_{a,b}=8\,\pi\,G\,T\left(a , b , P\right)-\Lambda\,\delta_{a, b} \]
ダスト物質の場合
$$P = 0$$
フリードマン方程式
$G^{0}_{\ \ 0} = 8\pi G T^{0}_{\ \ 0} – \Lambda \delta^{0}_{\ \ 0} $
In [6]:
EinEq(4, 4, 0)*(-1/3), expand;
Friedmann: %$

Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{19}$}\frac{k}{a^2}+\frac{\left(a_{t}\right)^2}{a^2}=\frac{8\,\pi\,G\,\rho}{3}+\frac{\Lambda}{3}\]
$\ddot{a}$ の式
$G^{1}_{\ \ 1} = 8\pi G T^{1}_{\ \ 1} – \Lambda \delta^{1}_{\ \ 1} $
In [7]:
EinEq(1, 1, 0);

Out[7]:
\[\tag{${\it \%o}_{21}$}-\frac{k+2\,a\,a_{t\,t}+\left(a_{t}\right)^2}{a^2}=-\Lambda\]
In [8]:
Friedmann + EinEq(1, 1, 0)$
% *(-1/2)$
att: expand(%);

Out[8]:
\[\tag{${\it \%o}_{24}$}\frac{a_{t\,t}}{a}=\frac{\Lambda}{3}-\frac{4\,\pi\,G\,\rho}{3}\]
エネルギー密度の式
In [9]:
diff(Friedmann, t) + 2*diff(a,t)/a * Friedmann - 2*diff(a,t)/a * att$
% * 3/(8*%pi*G), expand;

Out[9]:
\[\tag{${\it \%o}_{26}$}0=\rho_{t}+\frac{3\,a_{t}\,\rho}{a}\]
まとめ
ということで，以下の方程式が得られた。
\begin{eqnarray}
 \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 + \frac{k}{a^2} &=& \frac{8\pi G}{3} \rho + \frac{\Lambda}{3}\\
 \frac{\ddot{a}}{a} &=& – \frac{4\pi G}{3} \rho + \frac{\Lambda}{3} \\
 \dot{\rho} + 3 \frac{\dot{a}}{a} \rho &=& 0
 \end{eqnarray}
圧力がある物質の場合
フリードマン方程式
$G^{0}_{\ \ 0} = 8\pi G T^{0}_{\ \ 0} – \Lambda \delta^{0}_{\ \ 0} $
In [10]:
EinEq(4, 4, P)*(-1/3), expand;
Friedmann: %$

Out[10]:
\[\tag{${\it \%o}_{27}$}\frac{k}{a^2}+\frac{\left(a_{t}\right)^2}{a^2}=\frac{8\,\pi\,G\,\rho}{3}+\frac{\Lambda}{3}\]
$\ddot{a}$ の式
$G^{1}_{\ \ 1} = 8\pi G T^{1}_{\ \ 1} – \Lambda \delta^{1}_{\ \ 1} $
In [11]:
EinEq(1, 1, P);

Out[11]:
\[\tag{${\it \%o}_{29}$}-\frac{k+2\,a\,a_{t\,t}+\left(a_{t}\right)^2}{a^2}=8\,\pi\,G\,P-\Lambda\]
In [12]:
EinEq(4, 4, P)*(-1/3) + EinEq(1, 1, P)$
% *(-1/2)$
att: expand(%);

Out[12]:
\[\tag{${\it \%o}_{32}$}\frac{a_{t\,t}}{a}=-\frac{4\,\pi\,G\,\rho}{3}-4\,\pi\,G\,P+\frac{\Lambda}{3}\]
エネルギー密度の式
In [13]:
diff(Friedmann, t) + 2*diff(a,t)/a * Friedmann - 2*diff(a,t)/a * att$
% * 3/(8*%pi*G), expand;

Out[13]:
\[\tag{${\it \%o}_{34}$}0=\rho_{t}+\frac{3\,a_{t}\,\rho}{a}+\frac{3\,P\,a_{t}}{a}\]
まとめ
ということで，以下の方程式が得られた。
\begin{eqnarray}
 \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 + \frac{k}{a^2} &=& \frac{8\pi G}{3} \rho + \frac{\Lambda}{3}\\
 \frac{\ddot{a}}{a} &=& – \frac{4\pi G}{3} (\rho + 3 P) + \frac{\Lambda}{3} \\
 \dot{\rho} + 3 \frac{\dot{a}}{a} (\rho + P) &=& 0
 \end{eqnarray}