EinsteinPy を使って球対称な計量から真空のアインシュタイン方程式

$G_{ν}^{μ} = 0$

を解き，シュバルツシルト解を求める。

ライブラリの import

In [1]:

from sympy.abc import *
from sympy import *
from einsteinpy.symbolic import *
init_printing()

球対称な計量

ランダウ・リフシッツ「場の古典論」の記述にそって（しかし，signature は $(-, +, +, +)$ にして），球対称な計量を以下のようにおく。（ギリシャ文字の $λ$ は lambda ではなく，sympy.abc の中で lamda として定義されている。lambda は Python の予約語，変数として使用不可。）

$d s^{2} = - e^{ν (t, r)} d t^{2} + e^{λ (t, r)} d r^{2} + r^{2} (d θ^{2} + \sin^{2} θ d ϕ^{2})$

In [2]:

# from sympy.abc import * すると使える
lamda

Out[2]:

λ

In [3]:

lamda = Function('lamda')(t, r)
nu = Function('nu')(t, r)

Metric = diag(-exp(nu), exp(lamda), r**2, r**2 * sin(theta)**2).tolist()
g = MetricTensor(Metric, [t, r, theta, phi])
g.tensor()

Out[3]:

[\begin{matrix} - e^{ν (t, r)} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & e^{λ (t, r)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r^{2} \sin^{2} (θ) \end{matrix}]

アインシュタイン・テンソル

$G_{ν}^{μ} = R_{ν}^{μ} - \frac{1}{2} R δ_{ν}^{μ}$ = ein とおく。（.change_config('ul') で上付下付に）

In [4]:

ein=EinsteinTensor.from_metric(g).change_config('ul')

$λ$ は時間に依存しないこと

$G_{0}^{1}$

In [5]:

ein[1,0]

Out[5]:

\frac{e^{- λ (t, r)} \frac{\partial}{\partial t} λ (t, r)}{r}

$G_{0}^{1} = 0$ より

$\frac{\partial λ}{\partial t} = 0, ∴ λ (t, r) \Rightarrow λ (r)$

$λ (r)$ として，あらためてアインシュタイン・テンソルを求めてみる。

In [6]:

lamda = Function('lamda')(r)
nu = Function('nu')(t, r)

Metric = diag(-exp(nu), exp(lamda), r**2, r**2 * sin(theta)**2).tolist()
g = MetricTensor(Metric, [t, r, theta, phi])
g.tensor()

Out[6]:

[\begin{matrix} - e^{ν (t, r)} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & e^{λ (r)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r^{2} \sin^{2} (θ) \end{matrix}]

In [7]:

ein=EinsteinTensor.from_metric(g).change_config('ul')

$G_{0}^{0}$

In [8]:

ein[0,0]

Out[8]:

\frac{(- r \frac{d}{d r} λ (r) - e^{λ (r)} + 1) e^{- λ (r)}}{r^{2}}

$G_{1}^{1}$

In [9]:

ein[1,1]

Out[9]:

\frac{(r \frac{\partial}{\partial r} ν (t, r) - e^{λ (r)} + 1) e^{- λ (r)}}{r^{2}}

$G_{2}^{2}$

In [10]:

ein[2,2]

Out[10]:

\frac{(- r \frac{d}{d r} λ (r) \frac{\partial}{\partial r} ν (t, r) + r {(\frac{\partial}{\partial r} ν (t, r))}^{2} + 2 r \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} ν (t, r) - 2 \frac{d}{d r} λ (r) + 2 \frac{\partial}{\partial r} ν (t, r)) e^{- λ (r)}}{4 r}

$G_{3}^{3}$

In [11]:

ein[3,3]

Out[11]:

\frac{(- r \frac{d}{d r} λ (r) \frac{\partial}{\partial r} ν (t, r) + r {(\frac{\partial}{\partial r} ν (t, r))}^{2} + 2 r \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} ν (t, r) - 2 \frac{d}{d r} λ (r) + 2 \frac{\partial}{\partial r} ν (t, r)) e^{- λ (r)}}{4 r}

$G_{2}^{2} = G_{3}^{3}$ であることを確認。 $G_{2}^{2} - G_{3}^{3}$ がゼロとなることを示す。

In [12]:

ein[2,2] - ein[3,3]

Out[12]:

0

$ν = - λ$ とおけること

In [13]:

simplify(ein[1,1]-ein[0,0])

Out[13]:

\frac{(\frac{d}{d r} λ (r) + \frac{\partial}{\partial r} ν (t, r)) e^{- λ (r)}}{r}

$G_{1}^{1} - G_{2}^{2} = 0$ より，以下の式が得られる。

$\frac{\partial}{\partial r} (λ (r) + ν (t, r)) = 0$

これから，

$ν (t, r) = - λ (r) + f (t)$

となる。

$\begin{array}{rcl} ∴ e^{ν (t, r)} d t^{2} & = & e^{- λ (r) + f (t)} d t^{2} \\ = & e^{- λ (r)} {(e^{\frac{f (t)}{2}} d t)}^{2} \end{array}$

時間 $t$ のみの任意関数 $f (t)$ の自由度は， $e^{\frac{f (t)}{2}} d t \Rightarrow d t^{'}$ なる新しい時間座標の定義によって吸収できるので，一般性を失うことなく $f (t) = 0$ すなわち

$ν (t, r) \Rightarrow - λ (r)$

とすることができる。

バーコフの定理

ここまでは，球対称真空解は metric が時間によらない，つまり静的であるということを示しているわけで，バーコフの定理の証明になっている。バーコフの定理のもう一つの帰結である漸近的平坦性については，以下で示すように解が $e^{- μ (r)} = 1 - \frac{r_{g}}{r}$ となることで $r \to \infty$ で $e^{- μ (r)} \to 1$ となることからわかる。

参考：バーコフの定理 – Wikipedia

ということで，あらためて以下のような計量テンソルに対して，アインシュタイン・テンソルを計算してみる。

In [14]:

lamda = Function('lamda')(r)

Metric = diag(-exp(-lamda), exp(lamda), r**2, r**2 * sin(theta)**2).tolist()
g = MetricTensor(Metric, [t, r, theta, phi])
g.tensor()

Out[14]:

[\begin{matrix} - e^{- λ (r)} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & e^{λ (r)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r^{2} \sin^{2} (θ) \end{matrix}]

In [15]:

ein=EinsteinTensor.from_metric(g).change_config('ul')

In [16]:

ein[0,0]

Out[16]:

\frac{(- r \frac{d}{d r} λ (r) - e^{λ (r)} + 1) e^{- λ (r)}}{r^{2}}

In [17]:

eq = (ein[0,0] * r**2).expand()
eq

Out[17]:

- r e^{- λ (r)} \frac{d}{d r} λ (r) - 1 + e^{- λ (r)}

微分方程式を解き， $λ (r)$ を求める

微分方程式 $- r \frac{d}{d r} λ (r) - e^{λ (r)} + 1 = 0$ を SymPy の dsolve() を使って解く。

In [18]:

sol = dsolve(eq, lamda)
sol

Out[18]:

- λ (r) + \log (r) + \log (e^{λ (r)} - 1) = C_{1}

もうちょっとのところなので，

$e^{- λ} \equiv f, λ \Rightarrow - \log f$

とおいて（.subs(lamda, -log(f))）解いてもらう。

In [19]:

print('元の式は')
display(sol)

print('f(r) で書き直すと，解くべき方程式は')
f = Function('f')(r)
eq2 = sol.subs(lamda, -log(f))
display(eq2)

print('f(r) について解いた解は')
sol2 = solve(eq2, f)
sol2

元の式は

- λ (r) + \log (r) + \log (e^{λ (r)} - 1) = C_{1}

f(r) で書き直すと，解くべき方程式は

\log (r) + \log (- 1 + \frac{1}{f (r)}) + \log (f (r)) = C_{1}

f(r) について解いた解は

Out[19]:

[\frac{r - e^{C_{1}}}{r}]

In [20]:

sol2[0].expand()

Out[20]:

1 - \frac{e^{C_{1}}}{r}

積分定数 $C_{1}$ はニュートン近似のときに，

$\begin{array}{rcl} g_{00} & = & - e^{- λ (r)} \\ ≃ & - (1 + 2 \frac{ϕ}{c^{2}}) \\ = & - (1 - 2 \frac{G M}{r c^{2}}) \end{array}$

となることから，

$e^{C_{1}} = \frac{2 G M}{c^{2}} \equiv r_{g}$

となる。

最終的に

$d s^{2} = - (1 - \frac{r_{g}}{r}) d t^{2} + \frac{d r^{2}}{1 - \frac{r_{g}}{r}} + r^{2} (d θ^{2} + \sin^{2} θ d ϕ^{2})$

EinsteinPy と SymPy でアインシュタイン方程式を解いてシュバルツシルト解を求める

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球対称な計量

アインシュタイン・テンソル

$λ$ は時間に依存しないこと

$ν = - λ$ とおけること

バーコフの定理

微分方程式を解き， $λ (r)$ を求める

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このセクションの構成

EinsteinPy と SymPy でアインシュタイン方程式を解いてシュバルツシルト解を求める

ライブラリの import

球対称な計量

アインシュタイン・テンソル

λ は時間に依存しないこと

ν=−λ とおけること

バーコフの定理

微分方程式を解き，λ(r) を求める

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このセクションの構成

$λ$ は時間に依存しないこと

$ν = - λ$ とおけること

微分方程式を解き， $λ (r)$ を求める